Cosa devi sapere sulla geometria nello spazio

Piramidi

Consideriamo un angoloide di vertice V e un piano α non passante per V e non parallelo ad alcuno degli spigoli dell'angoloide. Il piano α divide l'angoloide in due parti; chiameremo piramide quella parte che contiene il vertice, includendo in questa parte la regione di α che appartiene all'angoloide e che chiameremo base della piramide. Il vertice V dell'angoloide è anche il vertice della piramide.

Chiameremo spigoli laterali e facce laterali della piramide rispettivamente la parte di spigoli e di facce dell'angoloide comuni alla piramide. Le facce laterali sono naturalmente dei triangoli. La base di una piramide è necessariamente un poligono e i suoi lati sono gli spigoli di base della piramide. L'altezza della piramide è il segmento VH di perpendicolare condotto da V al piano α cioè al piano della base. Ne segue che la misura dell'altezza è uguale alla distanza di V dal piano α. L'unione delle facce laterali è la superficie laterale della piramide, l'unione delle facce laterali e della base è la superficie totale. Una piramide a base triangolare prende il nome di tetraedro (e ha, in tutto, quattro facce triangolari).

Diremo che una piramide di vertice V è retta se ha per base un poligono circoscrittibile ad una circonferenza e la proiezione H del vertice V sul piano di base coincide con il centro O della circonferenza.

Una piramide retta si dice regolare se il poligono di base è un poligono regolare.

Le piramidi rette godono la seguente proprietà:

Teorema 17: In una piramide retta i segmenti condotti dal vertice ai punti di tangenza dei lati del poligono di base con la circonferenza inscritta sono altezze delle facce laterali e sono tutti congruenti.

Dimostrazione:

Consideriamo la seguente figura

Si tratta di provare, ad esempio, che i segmenti VH e VK sono perpendicolari rispettivamente ai lati AB e BC (quindi sono altezze di due facce) e che VH ≅ VK. Per il teorema delle tre perpendicolari VH è perpendicolare al lato AB, analogamente VK è perpendicolare al lato BC. Ora, i due triangoli rettangoli VV'H e VV'K sono congruenti (hanno VV' in comune, V'H ≅ V'K raggi della stessa circonferenza) e quindi VH ≅ VK.

In una piramide retta le altezze comuni delle facce laterali vengono dette apotema della piramide.

Chiameremo sezione di una piramide (o, in generale, di un solido) l'insieme dei punti che costituiscono l'intersezione di un piano con la piramide (o, in generale, con il solido).

Teorema 18: Se una piramide di vertice V è tagliata da un piano α parallelo alla base allora

a) la base e la sezione sono poligoni simili;

b) il rapporto AB/A'B' tra le misure di lati corrispondenti di tali poligoni è uguale al rapporto h/h' dove h è l'altezza della piramide e h' la distanza di V dal piano secante.

Dimostrazione:

Consideriamo la seguente figura

La dimostrazione si basa sulla similitudine di una serie di triangoli:

AB e A'B' sono paralleli essendo intersezioni di uno stesso piano VAB con due piani paralleli (α e il piano che contiene la base della piramide). Ne segue che i due triangoli VAB e VA'B' sono simili (angoli corrispondenti congruenti). Perciò si ha:

VA : V'A' = AB : A'B'

Analogamente sono simili i triangoli VBC e VB'C', VCD e VC'D', VDE e VD'E', VEA e VE'A'. Possiamo quindi scrivere:

AB : A'B' = BC : B'C' = CD : C'D' = DE : D'E' = EA : E'A'

Gli angoli del poligono di base e quelli del poligono sezione sono rispettivamente congruenti perchè hanno i lati corrispondenti paralleli e concordi. Pertanto i due poligoni ABCDE e A'B'C'D'E' sono simili. I triangoli VHA e VH'A' sono simili perchè hanno l'angolo V in comune e gli angoli H e H' retti. Possiamo quindi scrivere

VA : V'A' = VH : V'H'

E quindi

AB : A'B' = h : h'

Se si taglia una piramide con un piano parallelo alla base (e non passante per il vertice V) la piramide resta divisa in due parti, una delle quali è ancora una piramide di vertice V e l'altra prende il nome di tronco di piramide.

Le due basi di un tronco di piramide sono poligoni simili; le facce laterali sono dei trapezi. L'altezza del tronco è la distanza tra le due basi. Un tronco di piramide si dice retto o regolare se la piramide a cui appartiene è rispettivamente retta o regolare. In un tronco regolare le due basi sono poligoni regolari e la facce laterali trapezi isosceli congruenti.