Cosa devi sapere sulla geometria nello spazio

Area della superficie laterale e totale dei prismi

Un prisma, come abbiamo visto, è un solido delimitato da facce poligonali, le facce laterali sono parallelogrammi mentre le due basi sono poligono con 3, 4, 5, ... lati. Ora, supponiamo di avere un prisma retto a base pentagonale cavo e di effettuare un certo numero di tagli lungo alcuni suoi spigoli in modo da poter distendere completamente la sua superficie su un piano senza deformare le sue facce. Otterremo in questo modo lo sviluppo piano del prisma.

Come si vede lo sviluppo del nostro prisma è costituito da un rettangolo diviso in cinque rettangoli aventi tutti la stessa altezza, sono le facce laterali, e da due pentagoni sono le basi del prisma. Possiamo quindi determinare la misura della superficie laterale, indicata con S_l e la misura della superficie totale, indicata con S_t determinando la misura dell'area della superficie dello sviluppo del prisma.

Se il prisma è retto sussiste il seguente teorema

Teorema 21: L'area laterale di un prisma retto è uguale al prodotto del perimetro di base (2p) per la misura dell'altezza (h)

Dimostrazione:

Proviamo, per semplicità, il teorema nel caso in cui la base del prisma sia un quadrilatero; indichiamo con a, b, c e d le misure degli spigoli di una base del prisma e con h la misura dello spigolo laterale. In figura vediamo il prisma e lo sviluppo nel piano della sua superficie laterale.

Le facce laterali di un prisma retto sono dei rettangoli che hanno per base uno spigolo di base e per altezza l'altezza del prisma; quindi

S_l = ah + bh + ch + dh = (a + b + c + d)h = p_{di base}h = 2ph

L'area totale di un prisma si ottiene ovviamente sommando all'area laterale l'area delle due basi. Nel caso di un parallelepipedo rettangolo di dimensioni a, b e c è facile ricavare per l'area totale la formula perchè le facce opposte di un parallelepipedo rettangolo sono rettangoli congruenti.

S_t = S_l + 2S_b = 2(a + b) + 2ab = 2(ab + bc + ac)

dove S_b è la misura della superficie di una base.

Nel caso di un cubo

di spigolo l le formule sono ancora più semplici

S_l = 4l²; S_t = 6l²