Cosa devi sapere sulla geometria nello spazio

Area della superficie e volume del tronco di piramide

La superficie laterale di un tronco di piramide retta è formata da trapezi le cui altezze, tutte congruenti, sono apotemi del tronco e le cui basi sono i lati delle basi del tronco.

Ragionando sul tronco in figura che ha le basi pentagonali e indicando con a la misura dell'apotema del tronco e rispettivamente con

B₁, B₂, ..., B₅     e     b₁, b₂, ..., b₅

le misure dei lati della base maggiore e della base minore, l'area della superficie laterale del tronco è uguale alla somma delle aree dei trapezi.

Se indichiamo con 2p e 2p' rispettivamente il perimetro della base maggiore e il perimetro della base minore possiamo scrivere

dove p e p' sono i semiperimetri delle basi. Pertanto la misura dell'area della superficie laterale di un tronco di piramide si ottiene moltiplicando l'apotema del tronco con la somma dei semiperimetri delle basi.

L'area della superficie totale è uguale alla somma dell'area della superficie laterale con le aree dei poligoni di base

S_t = S_l + A + A'

Volume del tronco di piramide.

Teorema 25: La misura del volume di un tronco di piramide avente l'area di base maggiore B e l'area di base minore b e altezza h è dato dalla formula:

Dimostrazione:

Consideriamo la seguente figura

Il volume del tronco è dato dalla differenza tra il volume della piramide avente per base la base maggiore e il volume della piramide avente per base la base minore, quindi:

Le due piramidi sono simili e quindi le aree delle basi sono proporzionali al quadrato delle altezze:

e risolvendo rispetto a h' si ottiene

Sostituendo h' nella prima formula si ottiene: