Cosa devi sapere sulla geometria nello spazio

Posizioni reciproche di due piani

Dimostriamo il seguente teorema:

Teorema 3: Se due piani distinti si intersecano in un punto P allora la loro intersezione è una retta passante per P.

Dimostrazione:

Siano α e β i due piani distinti aventi in comune il punto P. Nel piano α, consideriamo due rette distinte r e s entrambe passanti per il punto P; sia r che s sono divise da P in due semirette che giacciono da parte opposte rispetto al piano β (assioma 4). Consideriamo una semiretta di r e una di s situate da parte opposte di β e prendiamo due punti A e B delle semirette così scelte. Il segmento AB ha un punto Q comune con β. D'altra parte la retta AB avendo due punti A e B sul piano α, ha ogni altro punto giacente su α. Pertanto il punto Q appartiene ad α. Possiamo concludere che i piani α e β avendo comuni i punti P e Q hanno comune la retta passanti per essi. Nè α e β possono avere altri punti comuni, oltre a quelli della retta PQ, perchè se ve ne fosse un altro, essi coinciderebbero (Assioma 1) e ciò sarebbe contro l'ipotesi.

Consideriamo le possibili posizioni reciproche di due piani; si hanno tre casi:

• piani paralleli se non hanno punti in comune;

  

• piani incidenti se hanno almeno un punto in comune in tal caso per il teorema precedente si intersecono in una retta;

  

• piani coincidenti se hanno almeno un tre punti non allineati in comune.

  

Si può dimostrare che per la relazione di parallelismo tra piani vale la proprietà transitiva.