Cosa devi sapere sulla geometria nello spazio

Coni

Si chiama cono retto o, semplicemente, cono il solido generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad un cateto.

Ad esempio, dalla rotazione completa del triangolo rettangolo ABC attorno alla retta r che contiene il lato AC si genera il cono in figura.

Il punto A è il vertice del cono; il cateto AC attorno a cui ruota il triangolo è l'altezza del cono; la retta r è l'asse del cono; il cateto BC è il raggio del cono; l'ipotenusa AB e gli altri infiniti segmenti con i quali l'ipotenusa viene a coincidere durante la rotazione si chiamano apotemi o generatrici del cono. La base del cono è evidentemente un cerchio. L'angolo CAB è l'angolo di semiapertura del cono. L'insieme dei punti generato dalla rotazione completa della sola ipotenusa AB prende il nome di superficie laterale del cono. L'unione della superficie laterale e della base costituisce la superficie totale del cono. Un cono si dice equilatero quando l'apotema è congruente ad un diametro di base; in tal caso la sezione del cono con un piano che contiene l'asse è un triangolo equilatero.

Dimostriamo un teorema del tutto analogo al teorema 18 relativo alle piramidi:

Teorema 20: Se un cono di vertice V è tagliato da un piano α parallelo alla base allora

a) la base e la sezione sono figure simili (sono cerchi);

b) il rapporto r/r' tra i raggi della base e della sezione è uguale al rapporto h/h' dove h è l'altezza del cono e h' la distanza di V dal piano secante.

Dimostrazione:

Consideriamo la seguente figura

La dimostrazione è immediata e segue dalla similitudine dei triangoli rettangoli VAB e VA'B'. Le aree della base e della sezione del cono stanno tra loro come il quadrato del rapporto h/h'; ciò discende dal principio generale secondo cui il rapporto delle aree di due figure simili è uguale al quadrato del rapporto di similitudine.

Se si taglia un cono con un piano α parallelo alla base (e non passante per il vertice V), il cono resta diviso in due parti, una delle quali è ancora un cono di vertice V e l'altra prende il nome di tronco di cono.

L'altezza del tronco di cono è la distanza AD tra le due basi; il segmento CB è l'apotema del tronco. E' chiaro infine che un tronco di cono può anche essere considerato come il solido generato dalla rotazione completa di un trapezio rettangolo ABCD attorno alla retta r su cui giace il lato perpendicolare alle basi del trapezio.