Cosa devi sapere sulla geometria nello spazio

Perpendicolariotà tra due rette e tra retta e piano

Nel piano esiste una e una sola retta perpendicolare a una retta r passante per un punto P appartenente a r

Ciò non è piò vero nello spazio. Infatti se consideriamo due rette r e s che giacciono nel piano α e perpendicolari in P possiamo considerare un piano β passante per la retta r e condurre una retta t giacente nel piano β e perpendicolare a r nel punto P.

Ne segue che, nello spazio, le perpendicolari ad r per P sono infinite perchè sono infiniti i piani passanti per r e, in ognuno di questi piani, si può condurre una retta perpendicolare a r in un suo punto P.

Teorema 4: Se una retta r è perpendicolare a due rette s e t che passano per un suo punto P allora ogni retta che passi per P e giaccia nel piano individuato da s e t è perpendicolare a r.

Dimostrazione:

Consideriamo la seguente figura:

Dove la retta r è perpendicolare alle due rette s e t che passano per un suo punto P e una qualsiasi altra retta u appartenente al piano α passa per P. Vogliamo dimostrare che anche u è perpendicolare ad r.

Consideriamo un punto qualsiasi A sulla retta r e il suo simmetrico A' rispetto a P; tracciamo poi nel piano α una retta (qualsiasi) che intersechi le rette s, u e t rispettivamente nei punti B, D e C. Congiungiamo con segmenti i punti B, D e C con i punti A e A'. Si ha AB ≅ A'B e AC ≅ A'C perchè s e t sono assi del segmento AA'. Ne segue che i due triangoli ABC e A'BC sono congruenti perchè hanno i rispettivi lati congruenti. Perciò si ha che i due angoli DBA e DBA' evidenziati in figura sono congruenti.

Ma allora sono congruenti anche i due triangoli ABD e A'BD perchè hanno due lati corispondenti e l'angolo compreso congruenti; perciò AD ≅ A'D. Ne segue che il triangolo ADA' in figura:

è isoscele e la mediana DP relativa alla base AA' è anche, altezza del triangolo. Allora la retta DP, cioè u, è perpendicolare alla retta AA' cioè r.

Il teorema 4 ci consente di dare la seguente definizione di retta perpendicolare a un piano: una retta r e un piano α che si intersecano in un punto P sono perpendicolari se la retta r è perpendicolare a due rette s e t del piano α passanti per P. Il punto P prende il nome di piede della perpendicolare.

In base al teorema 4 è possibile dimostrare i seguenti teoremi che verranno solo enunciati:

• Teorema 5: Il luogo delle rette perpendicolari a una retta r in un suo punto P è un piano.

• Teorema 6: Per ogni punto dello spazio si può condurre una ed una sola retta perpendicolare ad un piano assegnato.

• Teorema 7: Per ogni punto dello spazio si può condurre uno ed un solo piano perpendicolare ad una retta assegnata.

Dimostreremo, invece i seguenti teoremi:

Teorema 8 (detto teorema delle tre perpendicolari): Se dal piede P di una perpendicolare r ad un piano α si conduce la perpendicolare PQ ad una retta s di α, allora s è perpendicolare al piano β individuato dalle rette r e PQ.

Dimostrazione:

Consideriamo le seguenti figure:

le tre perpendicolari sono:

• r, perpendicolare al piano α

• t, cioè PQ, perpendicolare alla retta s;

• s, perpendicolare al piano β.

Sulla retta r prendiamo un punto A a piacere, e sulla retta s, a partire dal punto Q, da parti opposte ad esso, consideriamo due segmenti BQ, CQ congruenti e congiungiamo B e C con P e con A. Si ha BP ≅ CP perchè nel piano α, PQ è asse del segmento BC.

I due triangoli APB e APC sono congruenti perchè hanno AP in comune, BP ≅ CP per costruzione e gli angoli APB e APC retti, in quanto AP è perpendicolare ad α per ipotesi. Pertanto AB ≅ AC e nel piano ABC la retta AQ è asse di BC e quindi AQ è perpendicolare a BC ovvero a s. La retta s essendo perpendicolare alle rette PQ, AQ, sarà perpendicolare al piano da esse formate, che è lo stesso di quello formato da AP e da PQ.

Teorema 9: Due piani perpendicolari a una stessa retta sono paralleli.

Dimostrazione:

Consideriamo le seguenti figure:

dove i piani α e β sono entrambi perpendicolari alla retta r.

Se i due piani avessero un punto in comune, per questo punto passerebbero due piani perpendicolari alla retta r, il che, è assurdo per il teorema 7.

Teorema 10: Se un piano interseca due piani paralleli allora le rette intersezione sono parallele.

Dimostrazione:

Consideriamo la seguente figura:

dove i due piani α e β sono, per ipotesi, paralleli e il piano γ li interseca rispettivamente nelle rette r ed s cioè

Proviamo che r ed s sono parallele. Le due rette appartengono al piano γ ; se, per assurdo, avessero un punto P in comune, P apparterrebbe sia ad α (appartenendo ad r) sia a β (appartenendo ad s) e ciò contraddice il parallelismo dei piani. Ne segue la tesi.

Teorema 11: Se α e β sono piani paralleli allora ogni retta perpendicolare ad α è pure perpendicolare a β.

Dimostrazione:

Siano r e s due rette perpendicolari al piano α e mostriamo, innanzitutto, che le rette r e s sono complanari e parallele. Siano A e C i punti in cui le rette r ed s rispettivamente intersecano il piano α tracciamo la retta t passante per A e B, e prendiamo su di essa un punto R qualsiasi. Tracciamo l'unica perpendicolare a t in R che appartiene α, chiamiamola u.

Per il teorema delle tre perpendicolari u è perpendicolare in R al piano individuato da r e t (chiamiamo γ tale piano) ma anche al piano individuato da s e t (chiamiamo δ tale piano); ora i piani γ e δ, per il teorema 7, devono coincidere (altrimenti esisterebbero due piani distinti perpendicolari ad u in R. Ne segue che r, s e t sono complanari. Ma sappiamo che in un piano due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele.

Consideriamo ora la seguente figura:

dove α e β sono piani paralleli e r, s sono rette perpendicolari al piano α, e dimostriamo che sono pure perpendicolare a β.

Siano AB e CD i due segmenti di perpendicolare staccati rispettivamente su r ed s dai due piani e mostriamo che AB è congruente a CD. Le rette r ed s sono parallele e appartengono dunque ad uno stesso piano γ a tale piano appartengono anche le rette AC e BD che, non avendo punti in comune, sono anch'esse parallele. Ne segue che ABDC è un rettangolo e dunque si ha:

AB ≅ CD.

La proprietà appena dimostrata ci consente di dare le seguenti definizioni:

Chiameremo distanza tra due piani paralleli la lunghezza del segmento staccato dai due piani su una qualsiasi retta ad essi perpendicolare.

Chiameremo distanza di un punto P da un piano α la lunghezza del segmento di perpendicolare da P ad α.

Nella figura è stata indicata con r la retta perpendicolare per P al piano α. Allora la distanza del punto P dal piano α è PH dove H è il punto di intersezione di r con α. La nozione cosí introdotta è in armonia con l'idea intuitiva che la distanza tra due oggetti geometrici debba essere la lunghezza del percorso più breve tra i due oggetti.