Cosa devi sapere sulla geometria nello spazio

Prismi

Un'altra particolare regione solida illimitata è il prisma indefinito:

Dato un poligono e una retta r incidente al piano del poligono, chiameremo prisma indefinito la parte di spazio costituita dall'insieme delle rette parallele ad r e passanti per un punto qualsiasi del poligono (compreso il contorno). Si chiama superficie prismatica indefinita l'insieme delle rette che passano per il contorno del poligono (cioè per i lati del poligono).

Nella seguente figura sono state tracciate alcune delle rette che appartengono al prisma indefinito individuato dal pentagono ABCDE e dalla retta r; le rette passanti per i punti A, B, C, D ed E del poligono sono gli spigoli del prisma indefinito e appartengono alla superficie prismatica.

La nozione di prisma indefinito consente di definire una classe importante di figure solide: i prismi.

Dato un prisma indefinito e due piani paralleli β e γ che lo intersecano, chiameremo prisma definito, o semplicemente prisma, la parte di prisma indefinito compresa tra i due piani.

I due poligoni che si formano con le intersezioni tra i piani β e γ e il prisma indefinito sono le basi del prisma e i loro vertici sono i vertici del prisma; tali basi sono congruenti. Gli altri poligoni che delimitano il prisma sono tutti parallelogrammi e prendono il nome di facce laterali. Gli spigoli del prisma che non appartengono alle basi si chiamano spigoli laterali e sono tutti congruenti essendo lati opposti di parallelogrammi. Si chiama altezza di un prisma un segmento staccato dai due piani paralleli β e γ su una qualsiasi retta ad essi perpendicolare. Ne segue che la misura dell'altezza è la distanza tra i due piani β e γ. Si chiama diagonale di un prisma ogni segmento che congiunga due vertici non appartenenti alla stessa faccia. La superficie laterale di un prisma è l'unione delle sue facce laterali, la superficie totale l'unione delle facce laterali e delle basi.

Un prisma si dice retto quando le basi sono perpendicolari agli spigoli laterali; in caso contrario il prisma si dice obliquo.

Nella seguente figura sono stati tracciati un prisma retto e un prisma obliquo (entrambi a basi quadrilatere); AH e A'H' sono le rispettive altezze. Nel caso del prisma retto l'altezza AH coincide con uno spigolo laterale. Le facce laterali di un prisma retto sono evidentemente dei rettangoli.

Un prisma retto si dice regolare quando le basi sono poligoni regolari. Un prisma è detto triangolare, quadrangolare, pentagonale, ..., se le sue basi sono triangoli, quadrilateri, pentagoni, ...

Si chiama parallelepipedo una prisma che ha per basi due parallelogrammi. Un parallelepipedo è detto rettangolo se è retto e le sue basi sono rettangoli. Un parallelepipedo rettangolo è un cubo se gli spigoli sono tutti congruenti.

Nella seguente figura sono stati tracciati un parallelepipedo, un parallelepipedo rettangolo e un cubo.

Le facce di un parallelepipedo sono evidentemente tutte dei parallelogrammi che diventano, in particolare, rettangoli e quadrati rispettivamente nel caso del parallelepipedo rettangolo e del cubo.

In un parallelepipedo, facce che non hanno uno spigolo in comune si dicono opposte; è facile dimostrare che facce opposte di un parallelepipedo sono parallele e congruenti. I tre spigoli uscenti da un vertice di un parallelepipedo rettangolo si chiamano dimensioni; si parla di dimensioni anche per le lunghezze di tali spigoli (quindi il termine dimensione può indicare sia un segmento sia un numero reale, come accade, per praticità, anche per i termini base, altezza, raggio, ecc.).

Teorema 15: Le quattro diagonali di un parallelepipedo si incontrano in uno stesso punto O che è punto medio di ciascuna diagonale.

Dimostrazione:

Consideriamo la seguente figura

Poichè le facce di un parallelepipedo sono tutte parallelogrammi, gli spigoli AB e DC sono congruenti e paralleli cosí come gli spigoli DC e HG; ne segue, per la proprietà transitiva, che sono paralleli e congruenti AB ed HG. Dunque il quadrilatero ABGH è un parallelogramma e le sue diagonali, BH ed AG, che sono anche diagonali del parallelepipedo, si incontrano nel loro comune punto medio O. Analogamente i quadrilateri BDHF e BCHE sono parallelogrammi. Ne segue che anche le diagonali DF e CE passano per il punto medio della diagonale BH, quindi per O.

Teorema 16: Le quattro diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono congruenti.

Dimostrazione:

Consideriamo la seguente figura

La misura di ogni diagonale del parallelepipedo rettangolo può essere espressa in funzione delle misure delle dimensioni a, b, c del parallelepipedo applicando due volte il teorema di Pitagora. Ad esempio, la misura della diagonale DF del parallelepipedo è data da: