Cosa devi sapere sulla geometria nello spazio

Diedri

Nella geometria in due dimensioni, abbiamo chiamato angolo ciascuna delle due parti in cui due semirette con l'origine in comune dividono il piano; per analogia, nella geometria in tre dimensioni, chiameremo angolo diedro o semplicemente diedro ciascuna delle due parti di spazio comprese tra due semipiani (considerando in ciascuna parte anche i semipiani). La retta origine si chiama spigolo o costola del diedro; i due semipiani si dicono facce del diedro. Nella geometria in due dimensioni un angolo è una parte illimitata di piano; un diedro è un oggetto solido pertanto è una parte illimitata di spazio e in figura sono evidenziate solo le sue facce.

Dei due diedri individuati dai semipiani α e β solo uno non contiene il prolungamento delle facce e prende il nome di diedro convesso; l'altro si chiama diedro concavo. Quando, nel seguito, parleremo di diedri intenderemo sempre diedri convessi.

Chiameremo sezione normale di un diedro l'angolo piano che si ottiene come intersezione del diedro con un piano perpendicolare allo spigolo del diedro.

Dimostriamo il seguente teorema:

Teorema 12: Le sezioni normali di un diedro sono tutte tra loro congruenti.

Dimostrazione:

Consideriamo la seguente figura:

e dimostriamo che le due sezioni normali ABC e A'B'C' sono congruenti. Siano B e B' i punti di intersezione dello spigolo r rispettivamente con i piani γ₁ e γ₁. Sui due lati dell'angolo 1, di vertice B, consideriamo rispettivamente i due segmenti BA e BC (con A e C scelti a piacere); poi, sui lati dell'angolo 2, di vertice B', costruiamo i segmenti B'A' e B'C' tali che B'A' ≅ BA e B'C' ≅ BC. Per il teorema 9, i piani γ₁ e γ₁ sono paralleli; ne segue, per il teorema 10, che il piano α li interseca in due rette parallele. Quindi il quadrilatero ABB'A' è un parallelogramma (avendo due lati paralleli e congruenti); analogamente lo è CBB'C'. Allora i segmenti AA', BB', CC' sono congruenti e, a coppie, paralleli; ne segue che anche AA'C'C è un parallelogramma e dunque AC ≅ A'C'. Si conclude che i due triangoli ABC e A'B'C' cono congruenti per avere i rispettivi lati congruenti.

In base al teorema 11 possiamo dare la seguente definizione:

La misura o ampiezza di un angolo diedro è la misura di una qualunque sua sezione normale. Diremo che due diedri sono congruenti se hanno la stessa misura.

In questo modo la misura di un diedro, che è un oggetto tridimensionale, è ricondotta alla misura di un angolo bidimensionale. Pertanto un diedro si dice retto, acuto, ottuso, piatto o giro se la sua sezione normale è rispettivamente un angolo retto, acuto, ottuso, piatto o giro. Inoltre, due diedri si dicono:

• complementari se la loro somma è un diedro retto;

• supplementari se la loro somma è un diedro piatto.

Due piani incidenti formano quattro diedri a due a due opposti allo spigolo congruenti. Se i due piani incidenti formano due diedri adiacenti congruenti ne segue che tutti i quattro diedri sono congruenti essendo retti; in tal caso i due piani si dicono perpendicolari o ortogonali. Se i due piani incidenti formano diedri disuguali, si dicono obliqui.

Sussiste il seguente teorema

Teorema 13: Se una retta r è perpendicolare ad un piano α allora qualsiasi piano β passante per r è perpendicolare al piano α.

Dimostrazione:

Consideriamo la seguente figura:

dove r è la retta perpendicolare al piano α nel punto P, β è un qualsiasi piano passante per r e s è la retta di intersezione tra i due piani. Consideriamo la retta t perpendicolare alla retta s, giacente nel piano α, nel punto P. La retta r essendo perpendicolare al piano α è perpendicolare a qualsiasi retta di α passante per il suo piede e quindi è perpendicolare a s e t. Ne segue che l'angolo rt è retto e che le retta r e t sono entrambe perpendicolari a s in P. Ciò significa che la sezione normale di ciascuno dei diedri è retta per cui β è perpendicolare ad α.