Cosa devi sapere sulla geometria nello spazio

Area della superficie e volume dei cilindri

La superficie di un poliedro è costituita da un insieme finito di poligoni per ciascuno dei quali si può calcolare l'area; ha quindi senso parlare di area della superficie del poliedro potendosi quest'ultima determinare come somma delle aree di un numero finito di poligoni. Non si può dire lo stesso per la superficie laterale di un cilindro che non appartiene a uno stesso piano nè può essere scomposta in un numero finito di figure piane. Per semplicità ci avvarremo di un osservazione intuitiva, di tipo sperimentale. Immaginiamo che la superficie di un cilindro sia di carta o di cartoncino flessibile e il cilindro sia cavo: possiamo tagliarla lungo una generatrice e lungo le due circonferenze di base e distenderla su un piano.

Quindi la superficie laterale di un cilindro, pur non appartenendo ad un stesso piano, può svilupparsi nel piano. Lo sviluppo della superficie è un rettangolo che ha la base lunga quanto la circonferenza di base del cilindro e l'altezza congruente all'altezza del cilindro. Pertanto la misura dell'area della superficie laterale di un cilindro è data da:

S_l = 2Πr⋅h

e la misura dell'area della superficie totale di un cilindro è data da:

S_t = 2Πr⋅h + 2Πr²

Per calcolare il volume del cilindro ricorreremo di nuovo al principio di Cavalieri: si può infatti sempre costruire un prisma retto, ad esempio a base quadrata, che abbia la stessa area di base di un dato cilindro e altezza congruente a quella del cilindro. Poichè i solidi possono disporsi come in figura in modo che sezioni corrispondenti relative ad un piano parallelo alle basi siano equivalenti, si conclude che cilindro e prisma hanno lo stesso volume.

Dato che sappiamo calcolare il volume di un prisma, si ha dunque che il volume di un cilindro avente raggio di base r e altezza h è dato dal prodotto dell'area di base con l'altezza:

V = Πr²⋅h