Cosa devi sapere sulla geometria nello spazio

Volume dei prismi

La porzione di spazio occupata da un solido è detta estensione spaziale o semplicemente volume. Come unità di misura del volume si assume il volume di un cubo avente lo spigolo uguale all'unità di lunghezza. Se ad esempio assumiamo come unità di misura della lunghezza il cm allora il volume di un cubo con lo spigolo di 1 cm è uguale a 1 cm³. Le estensioni, cioè i volumi dei vari solidi si possono confrontare fra loro e se due solidi hanno la stessa estensione si dice che sono equivalenti inoltre, se due solidi sono congruenti allora hanno lo stesso volume. Il volume di un solido è dunque un numero reale come lo è la lunghezza di un segmento o l'area di una figura piana. Per il volume di un solido valgono le seguenti proprietà fondamental1:

Assioma5: (Assioma di addizione dei volumi) Se un solido è suddiviso in parti (cioè in altri solidi) che non abbiano in comune punti interni allora il volume del solido è uguale alla somma dei volumi di ciascuna parte.

Ad esempio, il volume di un cubo è uguale alla somma dei volumi delle sei piramidi che hanno le basi in ciascuna faccia del cubo e vertice nel centro del cubo.

Assioma6: (Principio di Cavalieri) Due solidi hanno lo stesso volume se, segandoli con ogni piano parallelo ad un dato piano α, hanno sezioni corrispondenti di stessa area (per sezioni corrispondenti si intende sezioni dei due solidi relative alla stesso piano).

Il principio di Cavalieri ha un suo fondamento intuitivo. Osserva la figura:

uno stesso mazzo di carte è stato disposto in modo diverso. Nel primo caso è disposto a parallelepipedo rettangolo, negli altri due casi a parallelepipedo obliquo (si fanno "scorrere" le carte l'una sull'altra). E' chiaro che i tre solidi hanno lo stesso volume perchè composti dallo stesso numero di carte tutte congruenti. Puoi pensare che tre carte, prese una per mazzo alla stessa quota rispetto al piano del tavolo, rappresentino le sezioni dei tre parallelepipedi con un piano parallelo al tavolo. Hai dunque una conferma empirica del principio di Cavalieri: le sezioni hanno la stessa area; nel nostro caso sono addirittura congruenti e i solidi hanno lo stesso volume. Il principio si basa sull'idea astratta di immaginare un solido composto da un numero grandissimo (tendente all'infinito) di strati paralleli sottilissimi (di altezza tendente a zero); e di immaginare che il volume possa ottenersi come "somma" di questi strati.

Vediamo come possiamo determinare la misura del volume di un prisma:

Consideriamo un prisma qualsiasi, ad esempio quello obliquo e a base pentagonale in figura

Possiamo sempre costruire un parallelepipedo rettangolo che abbia la stessa area di base e la stessa altezza del prisma. Proviamo che i due solidi hanno lo stesso volume. Le sezioni di un prisma con un piano parallelo alla base sono tutte congruenti; quindi indicando B e B' le basi dei due solidi e S ed S' due sezioni corrispondenti, si ha

area(S) = area(B) e area(S') = area(B')

ed essendo per costruzione area(B)=area(B'), si ha

area(S) = area(S')

Possiamo allora applicare il principio di Cavalieri e concludere che i due solidi hanno lo stesso volume e quindi sono equivalenti. Pertanto per determinare il volume di un prisma qualsiasi la formula è identica a quella per determinare il volume di un parallelepipedo rettangolo equivalente. Per determinare il volume di un parallelepipedo rettangolo ci si avvale del seguente teorema:

Teorema 22: Il volume di un parallelepipedo rettangolo è uguale al prodotto delle sue dimensioni.

Dimostrazione:

Nel caso in cui le dimensioni del parallelepipedo siano tre numeri interi a, b, c, come in figura

l'enunciato del teorema segue immediatamente perchè il parallelepipedo può essere suddiviso in a, b, c cubi di volume unitario.

Se le dimensioni sono espresse dai tre numeri razionali

il parallelepipedo può essere suddiviso in un numero intero di cubi di spigolo lungo

e precisamente nel numero intero

Poichè il volume di ognuno dei cubi è uguale a

ne segue

Se le dimensioni sono tre numeri reali x, y, z potremo considerare delle approssimazioni razionali

per eccesso o per difetto e arbitrariamente accurate di tali numeri. Il parallelepipedo con tali dimensioni razionali ha volume

e questo valore è un'approssimazione, per eccesso o per difetto e arbitrariamente accurata, del volume del parallelepipedo iniziale.

Pertanto il volume V di un parallelepido rettangolo di dimensioni a, b , c è dato dalla formula:

V = a ⋅ b ⋅ c

Se indichiamo con S_b l'area del rettangolo di base, di dimensioni a e b, e con h la misura dell'altezza del parallelepipedo (h=c) possiamo scrivere

V = S_b ⋅ h

ed è questa la formula che vale per ogni prisma. Nel caso particolare di un cubo di spigolo l la formula diventa V = l³.