Cosa devi sapere sulla geometria nello spazio

Angoloidi

Nello studio della geometria dello spazio è utile considerare, oltre ai diedri, un'altra particolare regione solida illimitata chiamata angoloide; intuitivamente un angoloide non è altro che una piramide illimitata (quindi con un suo vertice ma senza base). Ecco la definizione:

Sia dato un poligono convesso e un punto V non appartenente al piano del poligono. Si chiama angoloide il solido costituito da tutte le semirette uscenti da V e passanti per un punto del poligono (interno o sul contorno).

Il punto V è il vertice dell'angoloide, le semirette passanti per i vertici del poligono sono gli spigoli dell'angoloide, gli angoli di vertice V e lati due spigoli consecutivi sono le facce dell'angoloide e l'insieme delle facce dell'angoloide costituiscono la superficie dell'angoloide.

Nella figura a sinistra è stata tracciata, oltre agli spigoli, anche qualche altra semiretta che appartiene allèangoloide. Nella figura a destra sono evidenziate le tre facce dell'angoloide che, come si vede, sono angoli di vertice V. Nel nostro caso l'angoloide ha tre spigoli e tre facce che formano tre diedri convessi (ogni diedro ha come spigolo una delle tre semirette e come facce i due piani generati dalle altre due semirette con lo spigolo) e per tale motivo viene chiamato triedro. Ma è chiaro che un angoloide può avere un qualsiasi numero intero di facce e di diedri; ad esempio, se ha quattro facce e quindi quattro diedriè detto tetraedro, se ha cinque facce e quindi cinque diedri è detto pentaedro ecc. Con l'aiuto di due semplici modelli possiamo facilmente intuire due proprietà delle facce di un angoloide.

• Primo modello:
  
  Su un cartoncino tracciamo tre semirette a, b, c con l'origine V in comune.

  

  Ritagliamo i tre angoli che insieme formano un angolo giro e proviamo a far diventare questi tre angoli facce di un triedro. Che cosa notiamo? Dopo pochi tentativi ci rendiamo conto che è impossibile ottenere un triedro. Per ottenere un triedro dobbiamo ritagliare una parte ad uno dei tre angoli. Ad esempio, se eliminiamo l'angolo 4 con i restanti tre angoli riusciamo a ottenere un triedro.

  

  Questo modello ci suggerisce la prima proprietà delle facce di un angoloide.
  
  Teorema 14: La somma delle misure delle facce di qualsiasi angoloide è minore di 360.

• Secondo modello:
  
  Su un cartoncino disegniamo tre triangoli con un vertice in comune come in figura.

  

  Ritagliamo i tre triangoli e proviamo a far diventare questi tre triangoli facce di un triedro. Anche in questo caso è impossibile ottenere un triedro. Perchè? La misura della superficie di un triangolo è più grande della somma delle misure della superficie degli altri due triangoli. Per ottenere un triedro dobbiamo costruire tre triangoli in modo che la misura della superficie di un triangolo sia minore della somma delle superficie degli altri due triangoli. Questo modello ci suggerisce la seconda proprietà delle facce di un angoloide.
  
  Teorema 15: La misura di una faccia di un angoloide è sempre minore della somma delle misure delle altre facce.