Cosa devi sapere sulla geometria nello spazio

Primi assiomi e teoremi di geometria nello spazio

Studieremo ora, le proprietà delle figure nello spazio. Un cubo o una sfera, ad esempio, sono figure tridimensionali i cui punti non appartengono ad un unico piano. La geometria dello spazio è la geometria dell'ambiente in cui viviamo, è la geometria del mondo fisico ed è, per questo, più vicina ai nostri sensi di quanto non sia la geometria piana. Gli oggetti o enti geometrici fondamentali della geometria nello spazio sono ancora il punto, la retta, il piano e lo spazio (inteso come insieme di punti). Si tratta degli oggetti fondamentali perchè ogni altro oggetto geometrico sarà definito a partire da questi oggetti primitivi. Anche nella geometria dello spazio i punti verranno indicati con le lettere maiuscole A, B, C, ..., le rette con le lettere minuscole a, b, c, ..., e i piani con le lettere minuscole dell'alfabeto greco α, β, γ, ...

Gli oggetti geometrici hanno delle proprietà fondamentali che sono di evidenza intuitiva, che non hanno bisogno di essere dimostrate. Chiameremo tali proprietà assiomi (o postulati). Cominciamo ad esaminarli.

• Assioma1: Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano.

  

• Assioma2: Se due punti appartengono ad un piano allora anche la retta che li contiene appartiene al piano.

  

  Dagli assiomi 1 e 2 discendono due proprietà che possiamo dimostrate con un ragionamento. Ora attenzione, dobbiamo distinguere le proprietà geometriche che vengono assunte senza dimostrazione (è il caso degli assiomi 1 e 2) dalle proprietà che possono essere ricavate, mediante un ragionamento, da altre proprietà. Le proprietà del secondo tipo, quelle che possono essere dimostrate mediante un ragionamento, sono chiamate teoremi. Vediamo i due teoremi che derivano dagli assiomi 1 e 2:
  

  Teorema1: Sia r una retta e P un punto non appartenente ad r. Esiste un unico piano che contiene P ed r.

  
  

  Osserva che l'enunciato di un teorema è costituito da due parti che rivestono un ruolo logico diverso:
  
  a) Ipotesi che dichiara ciò che si assume per vero; nel nostro caso: P non appartiene ad r.
  
  b) Tesi che consiste in ciò che si deve dimostrare; nel nostro caso: esiste un unico piano che contiene P ed r.
  
  Dimostrazione:
  
  La retta r contiene almeno due punti distinti, chiamiamoli A e B. I punti A, B e P, per ipotesi, non sono allineati. Ne segue, per l'assioma 1, che per A, B e P passa uno e un solo piano, chiamiamolo α. Per l'assioma 2, poichè A e B appartengono ad α, la retta r appartiene ad α. Quindi esiste un unico piano α che contiene P ed r.

  
  

  Teorema2: Siano r ed s due rette e sia P il loro punto di intersezione. Esiste un unico piano che contiene r ed s.

  

  Dimostrazione:

  La retta r contiene almeno un punto distinto da P chiamiamolo A, la retta s contiene almeno un punto distinto da P, chiamiamolo B. I tre punti non allineati A, B e P individuano per l'assioma 1, un unico piano, chiamiamolo α. A tale piano appartengono entrambe le rette r e s per l'assioma 2.

  

• Assioma3 (detto assioma di partizione del piano): Una retta, contenuta in un piano, divide il piano in due parti che hanno in comune solo la retta. Per ogni coppia di punti A e B, non appartenenti alla retta, è possibile stabilire se i due punti appartengono alla stessa parte oppure stanno da parti opposte rispetto alla retta. Inoltre:

  • se i punti A e B appartengono a una stessa parte allora anche il segmento AB gli appartiene;

  • se i punti A e B appartengono a parti opposte allora il segmento AB interseca la retta r in un punto C.

  

  Ciascuna delle due parti prende il nome di semipiano; r, che appartiene ad entrambi i semipiani, è la comune origine dei due semipiani che si dicono opposti.

• Assioma4 (detto di partizione dello spazio): Un piano divide lo spazio in due parti che hanno in comune solo il piano. Per ogni coppia di punti A e B, non appartenenti al piano, è possibile stabilire se appartengono alla stessa parte oppure stanno da parti opposte rispetto al piano. Inoltre:

  • se i punti A e B appartengono a una stessa parte allora anche il segmento AB gli appartiene;

  • se i punti A e B appartengono a parti opposte allora il segmento AB interseca il piano in un punto C.

  
  

  Osservando la figura ci rendiamo conto che l'assioma esprime una proprietà del tutto intuitiva. Ciascuna delle due parti in cui un piano α divide lo spazio prende il nome di semispazio; il piano α, che appartiene ad entrambi i semispazi, è la comune origine dei due semispazi che si dicono opposti.