Cosa devi sapere sulla geometria nello spazio

Relazione di Eulero

Per tutti i poliedri convessi esiste una importante relazione tra vertici, facce e spigoli. Questa relazione è conosciuta con il nome formula di Eulero in onore al matematico Eulero.

Teorema 19: In ogni poliedro convesso la somma del numero delle facce e del numero dei vertici è uguale al numero degli spigoli aumentato di due.

Se nel poliedro convesso f è il numero delle facce, v il numero dei vertici e s il numero degli spigoli si ha:

f + v = s + 2

Giustifichiamo la formula considerando il caso di un cubo che costruiremo per gradi, aggiungendo via via una faccia; il nostro ragionamento può però facilmente estendersi a qualsiasi poliedro convesso. Osserva la seguente figura:

All'inizio abbiamo una sola faccia e quindi f = 1, v = 4, s = 4. Ne segue che al primo passo la relazione è

f + v = s + 1

Ad ogni passo successivo, tranne l'ultimo, tale relazione continua ad essere soddisfatta. Ad esempio, aggiungendo la seconda faccia, il numero delle facce aumenta di 1, quello dei vertici di 2 e quello degli spigoli di 3; quindi si ha ancora f + v = s + 1. All'ultimo passo, quando chiudiamo il cubo, il numero delle facce aumenta ancora di 1 ma il numero di vertici e di spigoli rimane lo stesso; ne segue che per bilanciare primo e secondo membro dovremo aggiungere una unità al secondo membro; perciò si ha:

f + v = s + 2