Cosa devi sapere sulla geometria nello spazio

Area della superficie e volume dei poliedri regolari

Indichiamo con s lo spigolo di ciascun poliedro regolare.

• Tetraedro regolare
  
  Un tetraedro regolare è una piramide retta le cui facce sono triangoli equilateri. L'area di un triangolo equilatero di lato s è

  
  

  Per cui la misura dell'area della superficie S del tetraedro è data dalla formula

  
  

  Il volume del tetraedro, essendo una piramide retta, è uguale a un terzo dell'area di base per la misura h dell'altezza della piramide.

  
  

  Determiniamo l'altezza VH applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo AHV sapendo che AV=s e AH è uguale ai 2/3 dell'altezza del triangolo equilatero.

  
  

  Per cui la misura del volume è data dalla formula

  
  

• Cubo
  
  Un cubo è un prisma le cui facce sono quadrati per cui le misure delle superficie laterali e totali sono date dalle formule

  S = 6s²;      V = s³
  

• Ottaedro regolare
  
  Un ottaedro regolare ha otto facce che sono triangoli equilateri per cui la misura dell'area della sua superficie è data dalla formula

  
  

  Un ottaedro regolare può essere scomposto in due piramidi rette a base quadrate le cue facce laterali sono triangoli equilateri e quindi il volume dell'ottaedro è uguale alla somma dei volumi delle due piramidi.

  
  

  Vediamo come possiamo determinare la misura del volume di una delle due piramidi. Consideriamo la figura

  
  

  e determiniamo la sua altezza VH applicando il teorema di Pitagora al triangolo MHV sapendo che MH è la metà dello spigolo e VM è l'altezza di un triangolo equilatero di lato s.

  
  

  La misura del volume della piramide è quindi

  
  

  Pertanto la misura del volume dell'ottaedro regolare è data dalla formula

  
  

• Icosaedro regolare
  
  Un icosaedro regolare ha venti facce che sono triangoli equilateri per cui la misura dell'area della sua superficie è data dalla formula

  
  

  Un icosaedro regolare può essere scomposto in venti piramidi rette aventi come base una faccia del solido e per altezza la distanza di una faccia dal centro del solido in figura è evidenziata una delle venti piramidi.

  
  

  Per cui il volume dell'icosaedro è dato dalla somma delle misure dei volumi delle venti piramidi. Si può dimostrare, ma non lo faremo, che tale distanza è il raggio della sfera inscritta nell'icosaedro

  
  

  e la sua misura è data dalla formula

  
  

  Per cui la misura del volume dell'icosaedro regolare è dato dalla formula

  
  

• Dodecaedro regolare
  
  Un dodecaedro regolare ha dodici facce che sono pentagoni regolari per cui la misura dell'area della sua superficie è data dalla formula

  
  

  Un dodecaedro regolare può essere scomposto in dodici piramidi rette aventi come base una faccia del solido e per altezza la distanza di una faccia dal centro del solido.

  
  

  Per cui il volume del dodecaedro regolare è dato dalla somma delle misure dei volumi delle dodici piramidi.Si può dimostrare, ma non lo faremo, che tale distanza è il raggio della sfera inscritta nel dodecaedro

  
  

  e la sua misura è data dalla formula

  
  

  Per cui la misura del volume del dodecaedro regolare è dato dalla formula