Cosa devi sapere sulla geometria nello spazio

Poliedri regolari

Nel piano un poligono è regolare se ha lati congruenti ed angoli congruenti; per analogia nello spazio:

diremo che un poliedro è regolare se le sue facce sono poligoni regolari tutti congruenti e gli angoloidi sono tutti congruenti.

In base a questa definizione, i prismi e le piramidi che abbiamo definito regolari non sono in generale dei poliedri regolari ma bensì prismi retti e piramidi rette a base regolare.

Nel piano esistono infiniti tipi diversi di poligoni regolari (triangoli equilateri, quadrati, pentagoni regolari, ecc.); per analogia ci aspetteremmo che anche i tipi di poliedro regolare siano infiniti. Ma, non è così, i poliedri regolari sono solo di cinque tipi. Ed è facile dimostrarlo, esaminando i casi possibili.

• Facce triangolari equilatere.
  
  Se le facce sono triangoli equilateri ogni angoloide può avere 3, 4 o 5 facce; sappiamo infatti, per il teorema 14, che la somma delle misure delle facce di un angoloide deve essere minore di 360°. E quindi, i casi possibili sono solo tre.

  
  

  Ad ognuno di questi angoloidi corrisponde effettivamente un poliedro regolare come si vede in figura.

  
  

  I poliedri corrispondenti prendono il nome di tetraedro regolare (4 facce, 4 vertici, 6 spigoli, ), ottaedro regolare (8 facce, 6 vertici, 12 spigoli), icosaedro regolare (20 facce, 12 vertici, 30 spigoli).

• Facce quadrate.
  
  Se le facce sono quadrati, l'unico caso possibile per gli angoloidi è di avere 3 facce; il poliedro corrispondente è un cubo (6 facce, 8 vertici, 12 spigoli).

  
  

• Facce pentagonali regolari.
  
  Se le facce sono pentagoni regolari, l'unico caso possibile per gli angoloidi è di avere 3 facce ed esiste effettivamente un poliedro con questo tipo di angoloidi: è il dodecaedro regolare (12 facce, 20 vertici, 30 spigoli).

  
  

• Facce n-gonali regolari con n > 5.
  
  Se le facce sono n-agoni regolari con n > 5 non esistono angoloidi. Il caso soglia si ha per n=6 in cui l'angoloide degenera in un piano.

  
  

Possiamo quindi concludere che esistono solo cinque tipi di poliedri regolari. I poliedri regolari sono anche chiamati solidi platonici.

Unendo i punti medi dei lati di un poligono regolare si ottiene ancora lo stesso poligono regolare.

Analogamente, se si congiungono i centri di ciascuna delle facce di un poliedro regolare si ottiene ancora un poliedro regolare.

Ad esempio, i 6 centri delle 6 facce di un cubo sono vertici di un ottaedro regolare. Viceversa gli 8 centri delle 8 facce di un ottaedro regolare sono vertici di un cubo. I due poliedri, cubo ed ottaedro, sono dunque strettamente correlati e si dicono duali (uno è il duale dell'altro).

Anche icosaedro e dodecaedro regolari sono uno duale dell'altro.

Invece, il tetraedro regolare è duale di se stesso (cioè i centri della 4 facce di un tetraedro regolare sono vertici di un altro tetraedro regolare).