Cosa devi sapere sulla geometria nello spazio

Area della superficie e volume dei coni

Anche per il cono ci avvarremo di un osservazione intuitiva, di tipo sperimentale. Immaginiamo che la superficie laterale di un cono sia di carta o di cartoncino flessibile e il cono sia cavo: possiamo tagliarla lungo una generatrice e lungo la circonferenza di base e distenderla su un piano (come avevamo già fatto per il cilindro). Quindi la superficie laterale di un cono, pur non appartenendo ad un stesso piano, può svilupparsi nel piano. Lo sviluppo della superficie laterale è un settore circolare il cui arco è lungo quanto la circonferenza di base del cono e il cui raggio è lungo quanto l'apotema del cono.

Sappiamo calcolare l'area di tale settore: è uguale al semiprodotto della lunghezza dell'arco per la misura del raggio del settore. Pertanto l'area della superficie laterale del cono misura:

L'area totale si ottiene ovviamente sommando all'area laterale l'area di base.

S_t = Πra + Πr²

Per determinare il volume di un cono applicheremo ancora una volta il principio di Cavalieri.

Possiamo sempre costruire una piramide retta, ad esempio a base quadrata, che abbia la stessa area di base di un dato cono e altezza congruente a quella del cono. Disponendo i due solidi con le basi sullo stesso piano α come vedi in figura

è facile rendersi conto che sezioni corrispondenti dei due solidi, relative ad un piano β parallelo ad α, sono equivalenti. Allora per il principio di Cavalieri i due solidi hanno lo stesso volume. Pertanto un cono avente raggio di base r e altezza h è equivalente a una piramide avente area di base Πr² e altezza h: