Geometria del taxi

Luogo dei punti equidistanti da due punti dati

Nella geometria euclidea determinare il luogo dei punti equidistanti da due punti dati A e B è semplice perchè è la retta perpendicolare passante per il punto medio del segmento che congiunge A con B e tale retta è detta asse del segmento AB. Inoltre, dati i due punti A e B è sempre possibile tracciare l'asse del segmento AB.

Tutti i punti dell'asse hanno uguale distanza dai punti A e B, cioè se P è un punto dell'asse allora la distanza di P da A è uguale alla distanza di P da B. In particolare, il punto medio M è quello che ha la minima distanza dai punti A e B ed è unico.

Nella geometria del taxi il luogo dei punti equidistanti da due punti dati A e B dipende dalla distanza tra i due punti.

• La distanza fra A e B è un numero dispari di unità.
  
  In questo caso i punti equidistanti da A e B non sono situati nei nodi della griglia o negli incroci tra due strade. Se consideriamo come punti del piano solo quelli individuati dai nodi (geometria discreta del taxi) allora non ci sono punti equidistanti dai due punti A e B.

  

• La distanza fra A e B è un numero pari di unità.
  
  In questo caso ci sono tre situazioni diverse:

  • I due punti A e B sono sulla stessa linea orizzontale o verticale.
    
    Il luogo dei punti equidistanti da A e B non differisce molto da quello euclideo perchè sono situati sulla retta perpendicolare al segmento di taxi AB passante per il punto medio M e questo è unico.

    

  • I due punti A e B non sono sulla stessa linea e la distanza orizzontale tra A e B è diversa da quella verticale.
    
    Nel luogo dei punti equidistanti da A e B il punto medio non è unico e tutti gli altri punti sono allineati orizzontalmente o verticalmente. Ad esempio, nella figura ci sono tre punti medi che hanno distanza 3 sia da A sia da B e tutti gli altri punti sono su due linee orizzontali.

    

  • I due punti A e B non sono sulla stessa linea e la distanza orizzontale è uguale a quella verticale.
    
    Nel luogo dei punti equidistanti da A e B il punto medio non è unico inoltre, tutti i punti equidistanti da A e B che non sono punti medi riempiono due porzioni di piano. Ad esempio, nella figura nel luogo dei punti equidistanti da A e da B ci sono quattro punti medi che hanno distanza 3 sia da A sia da B e infiniti punti nelle due regioni di piano una in alto a sinistra e l'altra in basso a destra.