Geometria del taxi

Iperbole di taxi

Nella geometria euclidea l'iperbole è definita come il luogo dei punti P del piano per i quali è costante la differenza tra le distanze da due punti fissi A e B detti fuochi. Il grafico dell'iperbole è formato da due rami che si estendono all'infinito.

Essendo l'iperbole definita in funzione della differenza tra due distanze possiamo utilizzare la stessa definizione per l'iperbole di taxi. Ad esempio, dati i punti A e B posti nei vertici opposti di un rettangolo di ingrombo 5x3 e quindi distanti otto unità consideriamo l'iperbole di taxi costituita da tutti i punti della griglia quadrata per i quali le distanze da A e B hanno per differenza quattro unità.

La forma dell'iperbole di taxi varia notevolmente in funzione sia della posizione dei fuochi che dal valore della differenza costante. Ad esempio, se la differenza costante che definisce la curva è uguale a zero si ottiene il caso limite di un'iperbole degenere costituita da un solo ramo.

Se la differenza costante che definisce la curva è uguale a due si ottiene un'iperbole in cui in ogni ramo i punti riempiono una porzione di piano.

Se la differenza costante che definisce la curva è uguale a otto si ottiene un'iperbole degenere in cui in ogni ramo riempiono una porzione di piano e non ci sono punti compresi tra i due fuochi.

Nel piano cartesiano di taxi l'equazione dell'iperbole che ha i fuochi in A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) e differenza costante d è data da:

Per esempio se A(0, 2), B(3, 0) e d=3 l'equazione dell'iperbole è:

Cioè

Tutti i punti del piano che soddisfano quest'equazione appartengono all'iperbole di taxi che ha i fuochi in A(0, 2), B(3, 0) e differenza costante d=3. Ad esempio, il punto di coordinate (1, 2) soddisfa l'equazione:

e quindi appartiene all'iperbole. Il grafico di questa equazione è: