Geometria del taxi

Segmento di taxi

Nella geometria del taxi la linea che unisce due punti A e B con la minima distanza è detta segmento di taxi. Possiamo pensare che il segmento di taxi rappresenti il percorso minimo o la strada che un taxi deve compiere per trasportare un passeggero da un punto A a un punto B della città con il minimo chilometraggio.

Nella geometria euclidea la distanza minima tra due punti A e B è il segmento di retta che ha per estremi i due punti ed è sempre unica.

Invece, nella geometria del taxi la distanza minima o segmento di taxi può non essere unica. Ad esempio, in figura ci sono tre distanze minime tra i due punti A e B. Questo vuol dire che se il tassista partendo da A si avvicina continuamente alla destinazione B ha a sua disposizione tre possibili percorsi minimi alternativi.

Bisogna considerare il segmento di taxi in modo diverso dal segmento euclideo, da un punto di vista euclideo i segmenti di taxi possono essere delle poligonali aperte formate da più segmenti orizzontali e verticali consecutivi.

Se due punti A e B non si trovano su una stessa strada orizzontale (o verticale) quanti sono i segmenti di taxi distinti che uniscono i due punti? Ad esempio, quanti percorsi di taxi sono possibili tra i punti A e B di una città ideale con minimo chilometraggio?

Ci sono 10 segmenti di taxi distinti tra A e B cioè, ci sono 10 percorsi alternativi per un taxi per coprire la distanza tra A e B con il minimo chilometraggio.

Come si vede dalla figura tutti i segmenti di taxi hanno lunghezza pari a 5 unità e ogni percorso è interno o sul contorno di un rettangolo euclideo 3x2. Chiameremo tale rettangolo che ha per vertici opposti i due punti A e B rettangolo di ingombro.

Come possiamo stabilire il numero di segmenti di taxi tra due punti A e B senza dover disegnarli? Esiste una regola:

Il numero di segmenti di taxi che arrivano in un incrocio è sempre uguale alla somma dei segmenti di taxi che arrivano negli incroci immediatamente precedenti.

Lo schema precedente è lo stesso del triangolo di Tartaglia ed è possibile associare i due schemi per determinare il numero dei segmenti di taxi o del percorso dei taxi come si vede in figura.

Esiste anche una formula per calcolare il numero di percorsi minimi tra A e B; se indichiamo con m e n le rispettive distanze orizzontale e verticale tra i due punti allora il numero N dei percorsi minimi è:

Con il simbolo n! (si legge n fattoriale) si indica il prodotto di n fattori interi decrescenti da n ad 1, per convenzione si pone 0!=1 e 1!=1. Se consideriamo il nostro caso in cui la distanza orizzontale è m = 3 e quella verticale è n = 2 si ha:

(n+m)! = (2+3)! = 5! = 5x4x3x2x1 = 120

n! = 2! = 2x1 = 2

m! = 3! = 3x2x1 = 6

E applicando la formula si ottiene:

Dall'esempio esaminato possiamo dedurre una regola generale:

Per stabilire il numero di segmenti di taxi tra due punti A e B che non sono sulla stessa strada bisogna conoscere sia la distanza tra i due punti sia le dimensioni del rettangolo di ingombro che ha per vertici opposti i punti A e B.