Cosa devi sapere sulla goniometria

Trasformazioni geometriche di funzioni goniometriche

Vediamo come è possibile tracciare il grafico di una nuova funzione ottenuta dalle funzioni goniometriche di seno, coseno e tangente mediante una trasformazione geometrica (simmetria, traslazione, dilatazione).

• Simmetria assiale rispetto all'asse y:

  Le equazioni della simmetria rispetto all'asse delle ordinate sono:

  

  Pertanto, ciascuna delle seguenti funzioni:

  y=cos(-x),      y=sin(-x)      y=tan(-x)

  è simmetrica rispetto all'asse y e si ottengono simmetrizzando rispetto all'asse y rispettivamente y=cos(x), y=sin(x), y=tan(x). In particolare, essendo il grafico di y=cos(x) simmetrico rispetto all'asse y il grafico di y=cos(-x) coincide con quello di y=cos(x).

  
• Simmetria assiale rispetto all'asse x:

  Le equazioni della simmetria rispetto all'asse delle ascisse sono:

  

  Pertanto ciascuna delle seguenti funzioni:

  y=-cos(x),      y=-sin(x)      y=-tan(x)

  è simmetrica rispetto all'asse x e si ottengono simmetrizzando rispetto all'asse x rispettivamente y=cos(x), y=sin(x), y=tan(x). In particolare, essendo y=sin(-x)=-sin(x) i due grafici coincidono lo stesso vale anche per i grafici delle tangenti y=tan(-x)=-tan(x).

  
• Simmetria rispetto all'origine:

  Le equazioni della simmetria rispetto all'origine sono:

  

  Pertanto, ciascuna delle seguenti funzioni:

  y=-cos(-x),      y=-sin(-x)      y=-tan(-x)

  è simmetrica rispetto all'origine e si ottengono simmetrizzando rispetto all'origine rispettivamente y=cos(x), y=sin(x), y=tan(x). In particolare, essendo y=-sin(-x)=sin(x) i due grafici coincidono lo stesso vale anche per i grafici delle tangenti y=-tan(-x)=-tan(x) mentre y=-cos(-x)=-cos(x).

• Traslazione:

  Le equazioni della traslazione di vettore v(a,b) sono:

  

  Ricaviamo x e y dalle equazioni della trasformazione:

  

  E sostituendole in y=f(x) otteniamo y=f(x-a)+b.

  Pertanto, ciascuna delle seguenti funzioni:

  y=cos(x-a)+b,      y=sin(x-a)+b      y=tan(x-a)+b

  Si ottiene traslando rispettivamente y=cos(x), y=sin(x), y=tan(x) orizzontalmente di |a| unità e verticalmente di |b| unità.

  La traslazione orizzontale avviene:

  • verso destra se a > 0
  • verso sinistra se a < 0

  La traslazione verticale si esegue:

  • verso l'alto se b > 0
  • verso il basso se b < 0

  Ad esempio il grafico della funzione y=sin(x-Π/2)+2 dove a=Π/2 e b=2 si ottiene traslando il grafico di y=sin(x) orizzontalmente verso destra di Π/2 unità e verso l'alto di 2 unità.

  
• Dilatazione-Compressione:

  Le equazioni della dilatazione-compressione sono:

  

  dove h e k sono due numeri reali positivi. Ricaviamo x e y dalle equazioni della trasformazione:

  

  E sostituendole in y=f(x) otteniamo:

  

  Pertanto, ciascuna delle seguenti funzioni:

  

  Si ottiene dilatando o comprimendo rispettivamente y=cos(x), y=sin(x), y=tan(x) orizzontalmente di un fattore 1/h e verticalmente di un fattore k.

  Si ottiene una dilatazione orizzontale per h > 1, mentre si ottiene una contrazione orizzontale per h < 1

  Si ottiene una dilatazione verticale per k > 1, mentre si ottiene una contrazione verticale per k < 1

  Ad esempio il grafico della funzione y=3sin(x/2) dove h=2 e k=3 si ottiene dal grafico di y=sin(x) con una dilatazione orizzontale di fattore 2 e con una dilatazione verticale di fattore 3. In pratica si moltiplicano le ascisse e le ordinate del grafico di y=sin(x) rispettivamente per 2 e per 3.

  

  Come si osserva dal grafico il parametro k modifica l'ampiezza della curva y=sin(x), infatti i massimi e i minimi del grafico y=3sin(x/2) si trovano rispettivamente 3 unità al di sopra e al di sotto dell'asse x. Invece, il parametro h modifica il periodo della curva y=sin(x) perchè per tracciare un periodo completo del grafico y=3sin(x/2) si deve far variare x/2 tra 0 e 2Π. Ora, x/2 è uguale a zero per x=0 e x/2=2Π per x=4Π. Quindi per x che varia da 0 a 4Π si ha un periodo completo e il periodo della funzione è 4Π.