Indice
Angoli e loro misura
L'interpretazione dinamica dell'angolo
Definizioni di seno, coseno e tangente
Come variano il seno e il coseno di un angolo
Come variano il seno e il coseno di un angolo
Relazioni fondamentali della goniometria
Angoli associati
Riduzione al primo quadrante
Rappresentazione grafica delle funzioni goniometriche
Trasformazioni geometriche di funzioni goniometriche
Funzioni sinusoidali e modelli armonici
Funzioni goniometriche inverse
Funzioni goniometriche reciproche
Grafici delle funzioni goniometriche reciproche
Formule di addizione e sottrazione del coseno
Formule di addizione e sottrazione del seno e della tangente
Formule di duplicazione
Formule di bisezione
Formule parametriche
Formule di Werner e di prostaferesi
Funzioni goniometriche inverse
Una funzione è invertibile solo se è iniettiva. Ora, le funzioni goniometriche seno, coseno e tangente essendo funzioni periodiche non sono iniettive, possiamo però restringere il dominio naturale di ciascuna di queste funzioni a un opportuno sottoinsieme in cui risultano iniettive e quindi invertibili. Vediamo queste scelte di restrizioni di dominio e le relative funzioni inverse:
Funzione arcoseno.
Se restringiamo il dominio naturale della funzione seno all'intervallo
la funzione y=sin x risulta strettamente crescente e quindi iniettiva e invertibile:
La funzione inversa della restrizione di y=sin x nell'intervallo [-Π/2, Π/2] è chiamata arcoseno e indicata con la scrittura:
y = arcsin x.
La funzione arcoseno ha per dominio l'intervallo [-1, 1] e per codominio l'intervallo [-Π/2, Π/2] e il suo grafico si ottiene da quello della funzione y=sinx mediante una simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
Come si vede dal grafico la funzione y=arcsin x è strettamente crescente ed è simmetrica rispetto all'origine e quindi è una funzione dispari. La funzione arcoseno permette di far corrispondere ad ogni valore di x compreso nell'intervallo [-1, 1] un unico valore compreso nell'intervallo [-Π/2, Π/2]. Ad esempio:
Funzione arcocoseno.
Se restringiamo il dominio naturale della funzione coseno all'intervallo
la funzione y=cos x risulta strettamente decrescente e quindi iniettiva e invertibile:
La funzione inversa della restrizione di y=cos x nell'intervallo [0, Π] è chiamata arcocoseno e indicata con la scrittura:
y = arccos x.
La funzione arcocoseno ha per dominio l'intervallo [-1, 1] e per codominio l'intervallo [0, Π] e il suo grafico si ottiene da quello della funzione y=cos x mediante una simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
Come si vede dal grafico la funzione y=arccos x è strettamente decrescente. La funzione arcocoseno permette di far corrispondere ad ogni valore di x compreso nell'intervallo [-1, 1] un unico valore compreso nell'intervallo [0, Π]. Ad esempio:
Funzione arcotangente.
Se restringiamo il dominio naturale della funzione tangente all'intervallo
la funzione y=tan x risulta strettamente crescente e quindi iniettiva e invertibile:
La funzione inversa della restrizione di y=tan x nell'intervallo [-Π/2, Π/2] è chiamata arcotangente e indicata con la scrittura:
y = arctan x.
La funzione arcotangente ha per dominio l'insieme R e per codominio l'intervallo [-Π/2, Π/2] e il suo grafico si ottiene da quello della funzione y=tan x mediante una simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
Come si vede dal grafico la funzione y=arctan x è strettamente crescente, è simmetrica rispetto all'origine e quindi è una funzione dispari, ed ha due asintoti orizzontali di equazioni y=±Π/2. La funzione arcotangente permette di far corrispondere ad ogni valore di x ∈ R un unico valore compreso nell'intervallo [-Π/2, Π/2]. Ad esempio:
