Cosa devi sapere sulla goniometria

Angoli associati

Due angoli si dicono associati se le rispettive funzioni goniometriche che hanno per argomento i due angoli sono uguali, in valore assoluto oppure c'è uno "scambio" tra le funzioni goniometriche. In generale due angoli associati sono legati tra loro mediante una simmetria.

• Angoli supplementari:

  

  I punti P e P' sono simmetrici rispetto all'asse y ne segue che le funzioni goniometriche sin α e sin β hanno lo stesso valore mentre, cos α e cos β hanno segni opposti ma lo stesso valore assoluto. Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è uguale a Π e quindi possiamo scrivere:

  β = Π - α

  Ne segue:

  

• Angoli opposti:

  

  I punti P e P' sono simmetrici rispetto all'asse x ne segue che le funzioni goniometriche cos α e cos β hanno lo stesso valore mentre, sin α e sin β hanno segni opposti ma lo stesso valore assoluto. Due angoli si dicono opposti se la loro somma è uguale a 0 e quindi possiamo scrivere:

  β = - α

  Ne segue:

  

• Angoli che differiscono di Π:

  

  I punti P e P' sono simmetrici rispetto all'origine ne segue che le funzioni goniometriche cos α e cos β hanno segni opposti ma lo stesso valore assoluto, anche sin α e sin β hanno segni opposti ma lo stesso valore assoluto. Se due angoli differiscono di Π possiamo scrivere:

  β = Π + α

  Ne segue:

  

• Angoli complementari:

  

  I punti P e P' sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo quadrante ne segue che le funzioni goniometriche cos α e sin β hanno lo stesso valore anche sin α e cos β hanno lo stesso valore. Due angoli sono complementari se la loro somma è uguale a Π/2 e quindi possiamo scrivere:

  β = Π/2 - α

  Ne segue:

  

• Angoli che differiscono di Π/2:

  

  I punti P e P' sono ruotati di Π/2 in senso antiorario rispetto all'origine ne segue che cos α e sin β hanno lo stesso valore e sono entrambi positivi, mentre sin α e cos β hanno segni opposti ma lo stesso valore assoluto. Se due angoli differiscono di α/2 possiamo scrivere:

  β = Π/2 + α

  Ne segue:

  

• Angoli la cui somma è 3Π/2:

  

  Dalla posizione dei due triangoli si osserva che sin α e cos β hanno segni opposti ma lo stesso valore assoluto anche cos α e sin β hanno segni opposti ma lo stesso valore assoluto. Se due angoli hanno per somma 3α/2 possiamo scrivere:

  β = 3Π/2 - α

  Ne segue:

  

• Angoli che differiscono di 3Π/2:

  

  Dalla posizione dei due triangoli si osserva che sin α e cos β hanno lo stesso valore, mentre cos α e sin β hanno segni opposti ma lo stesso valore assoluto. Se due angoli differiscono di 3α/2 possiamo scrivere:

  β = 3Π/2 + α

  Ne segue:

  

Per riassumere ecco i valori di coseno e seno degli angoli particolari: