Cosa devi sapere sulla goniometria

Rappresentazione grafica delle funzioni goniometriche

Vediamo come possiamo tracciare il grafico delle funzioni goniometriche.

• Funzione y = sin x:
  
  Il dominio della funzione seno è tutto l'insieme R mentre il codominio è l'insieme dei numeri reali compresi tra -1 e 1:

  α ∈ R       -1 ≤ sin α ≤ 1

  Inoltre essendo la funzione periodica di periodo 2kΠ con k ∈ Z è sufficiente tracciare il grafico nell'intervallo [0, 2Π] e poi completarlo ripetendo periodicamente sia a sinistra che a destra la parte del grafico già tracciato. Iniziamo a costruiamo la tabella α e sin α scegliendo alcuni opportuni angoli:

  

  e poi riportiamo sull'asse x i valori degli angoli e sull'asse y i corripondenti valori del seno:

  

  Una volta ottenuta questa parte di grafico possimo riprodurlo periodicamente:

  

  Il grafico completo della funzione seno è detto sinusoide. Osservando il grafico della funzione seno possiamo renderci conto che:

  • Il grafico oltre ad essere periodico è anche simmetrico rispetto all'origine; e quindi la funzione seno è dispari. Infatti, vale:

    sin (-α) = -sin (α)

  • Il grafico interseca l'asse delle x in infiniti punti di ascissa x = kΠ e quindi la funzone seno ha infinititi zeri.

  • Il grafico presenta sia infiniti punti di massimo di ascissa x=Π/2+2kΠ e ordinata y=1 che infiniti punti di minimo di ascissa x=3Π/2+2kΠ e ordinata y=-1.

• Funzione y = cos x:
  
  Il dominio della funzione coseno è tutto l'insieme R mentre il codominio è l'insieme dei numeri reali compresi tra -1 e 1:

  α ∈ R       -1 ≤ cos α ≤ 1

  Anche la funzione coseno è periodica di periodo 2kΠ con k ∈ Z è e quindi è sufficiente tracciare il grafico nell'intervallo [0, 2Π] e poi completarlo ripetendo periodicamente sia a sinistra che a destra la parte del grafico già tracciato. Iniziamo a costruiamo la tabella α e cos α scegliendo alcuni opportuni angoli:

  

  e poi riportiamo sull'asse x i valori degli angoli e sull'asse y i corripondenti valori del seno:

  

  Una volta ottenuta questa parte di grafico possimo riprodurlo periodicamente:

  

  Il grafico completo della funzione coseno è detto cosinusoide. Osservando il grafico della funzione coseno possiamo renderci conto che:

  • Il grafico oltre ad essere periodico è anche simmetrico rispetto all'asse y; e quindi la funzione coseno è pari. Infatti, vale:

    cos (-α) = cos (α)

  • Il grafico interseca l'asse delle x in infiniti punti di ascissa x = Π/2 + kΠ e quindi la funzone coseno ha infiniti zeri.

  • Il grafico presenta sia infiniti punti di massimo di ascissa x=2kΠ e ordinata y=1 che infiniti punti di minimo di ascissa x=Π+2kΠ e ordinata y=-1.

  
  

  Se tracciamo insieme il grafico di sin α e di cos α possiamo notare che il grafico del seno si sovrappone a quello del coseno con una traslazione orizzontale di vettore

  

  e questo conferma la relazione tra angoli la cui differenza è Π/2:

  

• Funzione y = tan α:
  
  Il dominio della funzione tan α è definito per ogni x ≠ Π/2 + kΠ mentre il codominio è tutto l'insieme R dei numeri reali:

  

  Inoltre essendo la funzione periodica di periodo Π è sufficiente tracciare il grafico nell'intervallo [-Π/2, Π/2] e poi completarlo ripetendo periodicamente sia a sinistra che a destra la parte del grafico già tracciato. Iniziamo a costruiamo la tabella α e tan α scegliendo alcuni opportuni angoli:

  

  e poi riportiamo sull'asse x i valori degli angoli e sull'asse y i corripondenti valori della tangente:

  

  Una volta ottenuta questa parte di grafico possimo riprodurlo periodicamente:

  

  Il grafico completo della funzione tangente è detto tangentoide. Osservando il grafico della funzione tangente possiamo renderci conto che:

  • Il grafico oltre ad essere periodico è anche simmetrico rispetto all'origine; e quindi la funzione tan α è dispari. Infatti, vale:

    tan (-α) = -tan (α)

  • Il grafico interseca l'asse delle x in infiniti punti di ascissa x = kΠ e quindi ha infinititi zeri.

  • Il grafico presenta infiniti asintoti verticali di equazioni x=Π/2+kΠ.