Cosa devi sapere sulla goniometria

Relazioni fondamentali della goniometria

Consideriamo la circonferenza goniometrica, un punto P appartenente alla circonferenza goniometrica e l'angolo α associato al punto P. L'ascissa di P è il coseno dell'angolo α mentre l'ordinata di P è il seno dell'angolo α.

Poichè il triangolo OHP è rettangolo vale il teorema di Pitagora ed essendo i cateti e l'ipotenusa rispettivamente uguali a cos α, sin α e 1 si ha:

sin² α + cos² α = 1

Questa relazione è nota come prima relazione fondamentale della goniometria.

La tangente di un angolo è stata definita come il rapporto tra il seno e coseno dell'angolo e cioè:

e tale relazione prende il nome di seconda relazione fondamentale della goniometria.

Dalla prima relazione fondamentale delle goniometria possiamo ricavare:

che consente di calcolare il seno di α se è noto il coseno di α (il segno ± dipende dal quadrante a cui appartiene α)

Oppure:

che consente di calcolare il coseno di α se è noto il seno di α (anche qui il segno ± dipende dal quadrante a cui appartiene α)

Utilizzando la prima e la seconda relazione fondamentale della goniometria e alcuni passaggi algebrici possiamo ottenere altre utili formule. Ad esempio dividendo entrambi i membri della prima relazione per cos² α si ha:

che consente di determinare il coseno di α nota la tangente di α.

Analogamente possiamo ottenere:

che consente di determinare il seno di α nota la tangente di α.