Cosa devi sapere sulla goniometria

Come variano il seno e il coseno di un angolo

Per stabilire come varia la tangente di un angolo è utile dare un'interpretazione geometria della tangente. Consideriamo il punto P(cos α, sin α) sulla circonferenza goniometrica, sia A la sua proiezione sull'asse x e B il punto di coordinate (1, 0), tracciamo la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto B e prolunghiamo il raggio OP fino ad intersecare la retta tangente nel punto T.

I triangoli OAP e OBT sono simili e quindi vale la proporzione:

BT : AP = OB : OA

Ora, OB = 1, AP = sin α e OA = cos α per cui possiamo scrivere:

Pertanto la tangente dell'angolo α geometricamente rappresenta l'ordinata del punto T ossia tan α = y_T.

• Se il punto P percorre il primo quadrante e quindi l'angolo α si muove da 0 a Π/2 l'ordinata di T è positiva e cresce man mano che l'angolo α si avvicina a Π/2. Quando l'angolo α = Π/2 l'ordinata di T non esiste e quindi non esiste nemmeno la tangente dell'angolo.

  

• Se il punto P si muove lungo il secondo quadrante e quindi l'angolo α si muove da Π/2 a Π l'ordinata di T è negativa e cresce man mano che l'angolo α si avvicina a Π. Quando l'angolo α = Π l'ordinata di T è uguale a zero.

  

• Se il punto P percorre il terzo quadrante e quindi l'angolo α si muove da Π a 3Π/2 l'ordinata di T è positiva e cresce man mano che l'angolo α si avvicina a 3Π/2. Quando l'angolo α = 3Π/2 l'ordinata di T non esiste e quindi non esiste nemmeno la tangente dell'angolo.

  

• Se il punto P percorre il quarto quadrante e quindi l'angolo α si muove da 3Π/2 a 2Π l'ordinata di T è negativa e cresce man mano che l'angolo α si avvicina a 2Π. Quando l'angolo α = 2Π l'ordinata di T è uguale a zero.

  

Riassumendo i segni di coseno, seno e tangente dell'angolo nei quattro quadranti sono: