Cosa devi sapere sulla goniometria

Riduzione al primo quadrante

Le relazioni degli angoli associati permettono di determinare il valore delle funzioni goniometriche di un angolo qualunque utilizzando le corrispondenti funzioni goniometriche di un angolo compreso tra 0° e 90°, cioè con un angolo del primo quadrante. Questo procedimento viene detto riduzione al primo quadrante. Vediamo i casi possibili:

• L'angolo si trova nel secondo quadrante:

  Supponiamo che l'angolo nel secondo quadrante sia α = 135° e di voler determinare seno, coseno e tangente dell'angolo.

  

  L'angolo supplementare di α è β = 45° per cui possiamo scrivere:

  α = 180° - 45°

  Ne segue che:

  sin α = sin (180° - 45°)

  Ora dalle relazioni degli angoli associati sappiamo che:

  sin (180° - 45°) = sin 45°

  Cioè il seno di un angolo ampio 135° è uguale al seno di un angolo ampio 45°. In altre parole, abbiamo ricondotto un angolo del secondo quadrante a un opportuno angolo del primo quadrante.
  
  In generale se α è un angolo del secondo quadrante e β è il corrispondente angolo supplementare allora si ha:

  sin α = sin (Π - β) = sin β

  Utilizzando le relazioni degli angoli associati supplementari si ha:

  cos α = cos (Π - β) = -cos β       tan α = tan (Π - β) = -tan β





• L'angolo si trova nel terzo quadrante:

  Supponiamo che l'angolo nel terzo quadrante sia α = 210° e di voler determinare seno, coseno e tangente dell'angolo.

  

  La differenza tra l'angolo α e l'angolo piatto è β = 30° per cui possiamo scrivere:

  α = 180° + 30°

  Ne segue che:

  sin α = sin (180° + 30°)

  Ora dalle relazioni degli angoli associati sappiamo che:

  sin (180° + 30°) = -sin 30°

  Cioè il seno di un angolo di 210° è uguale a meno seno di un angolo di 30°. Abbiamo ricondotto un angolo del terzo quadrante a un opportuno angolo del primo quadrante.
  
  In generale se α è un angolo del terzo quadrante e β è la differenza tra l'angolo piatto e α allora si ha:

  sin α = sin (Π + β) = -sin β

  Utilizzando le relazioni degli angoli associati che differiscono di un angolo piatto si ha:

  cos α = cos (Π + β) = -cos β       tan α = tan (Π - β) = tan β





• L'angolo si trova nel quarto quadrante:

  Supponiamo che l'angolo nel quarto quadrante sia α = 300° e di voler determinare seno, coseno e tangente dell'angolo.

  

  La differenza tra l'angolo giro e l'angolo α è β = 60° per cui possiamo scrivere:

  α = 360° - 60°

  Ne segue che:

  sin α = sin (360° - 60°)

  Ora dalle relazioni degli angoli associati sappiamo che:

  sin (360° - 60°) = -sin 60°

  Cioè il seno di un angolo di 300° è uguale a meno seno di un angolo di 60°. Abbiamo ricondotto un angolo del quarto quadrante a un opportuno angolo del primo quadrante.
  
  In generale se α è un angolo del quarto quadrante e β è la differenza tra l'angolo giro e α allora si ha:

  sin α = sin (2Π - β) = -sin β

  Utilizzando le relazioni degli angoli associati esplementari si ha:

  cos α = cos (2Π - β) = cos β       tan α = tan (2Π - β) = -tan β