Numeri poligonali

Numeri esprimibili come somma di numeri quadrati

Diofanto e successivamente Fermat indicarono che ogni numero naturale, se non è esso stesso un numero quadrato, può essere scritto come somma di al massimo quattro numeri quadrati, eventualmente ripetuti.

Ad esempio, 63 = 7² + 3² + 2² + 1²

Fermat scoprí anche che un numero primo p può essere scritto come somma di due numeri quadrati in un solo modo quando p+1 non è divisibile per 4. Ad esempio:

2 = 1²+1²; 5 = 1²+2²; 13 = 2²+3²; 17 = 1²+4²

Da questa proprietà deriva che se un numero ha più di una rappresentazione, come somma di due numeri quadrati, allora non è un numero primo. Ad esempio 65 ha due rappresentazioni

65 = 1² + 8² = 4² + 7²

e come sappiamo non è un numero primo. Questa proprietà permise a Eulero di scoprire un suo errore. Eulero era convinto che il numero 1000009 fosse un numero primo e lo inserí in un elenco di numeri primi che pubblicò nel 1774. Successivamente si accorse che questo numero aveva due rappresentazioni:

1000009 = 1000² + 3² = 235² + 972²

E quindi non poteva essere primo. Rimediò all'errore trovando la sua scomposizione in fattori primi:

1000009 = 293 ⋅ 3413

Da questa propritò deriva anche che un numero primo p non può essere scritto come somma di due quadrati quando p+1 è divisibile per 4. Ad esempio:

3 = 1²+1²+1²; 7 = 1²+1²+1²+2²; 11 = 1²+1²+3²

Anche alcuni numeri naturali non primi possono essere espressi come somma di due numeri quadrati però non è detto che questa scrittura sia unica. Ad esempio:

125 = 2² + 11² = 15² + 20²

Per sapere se un numero naturale non primo è somma di due numeri quadrati bisogna scomporlo in fattori primi. Ad esempio, 85 = 5 ⋅ 17 e sia 5+1 che 17+1 non sono divisibili per 4 pertanto 85 è somma di due quadrati ma non è detto che lo sia in modo unico. Infatti:

85 = 6² + 7² = 2² + 9²

Invece 15 = 3 ⋅ 5 essendo 3+1 divisibile per 4 non può essere somma di due numeri quadrati. Infatti

15 = 3² + 2² + 1² + 1²