Numeri poligonali

Somma di numeri quadrati

Vediamo come è possibile ottenere una formula che ci permette di determinare la somma di n numeri quadrati senza dover eseguire n somme. Consideriamo la relazione tra il quadruplo di un numero quadrato e due numeri triangolari:

4Q₁ = T₁ + T₂ = 1 + 3 = 4

Proseguendo:

4Q₂ = T₃ + T₄ = 6 + 10 = 16

4Q₃ = T₅ + T₆ = 15 + 21 = 36

Si intuisce che:

4Q_n = T_2n-1 + T_2n

Ora se sommiamo tutti i quadrupli dei numeri quadrati si ha:

4Q₁ + 4Q₂ + ... + 4Q_n = T₁ + T₂ + ... + T_2n

Cioè

4(1 + 4 + 9 + ... + n²) = T₁ + T₂ + ... + T_2n

e tenendo conto della formula che esprime la somma dei numeri triangolari vista precedentemente si ha che la somma di 2n numeri triangolari è:

Possiamo allora scrivere:

e semplificando si ha: