Numeri poligonali

Numeri triangolari

Un numero triangolare è un numero intero positivo che rappresentato mediante punti forma un triangolo equilatero. Ad esempio, i primi quattro numeri triangolari sono 1, 3, 6, 10:

Come si vede dalla figura, il primo numero triangolare è 1 ed è formato da 1 solo punto, il secondo numero triangolare è 3 ed è formato da 3 punti e si ottiene sommando i primi due numeri naturali (1+2=3), il terzo numero triangolare è 6 ed è formato da 6 punti e si ottiene sommando i primi tre numeri naturali (1+2+3=6) e cosí via. In generale un numero triangolare T_n di lato n è uguale alla somma dei numeri naturali da 1 a n:

T₁ = 1; T₂ = 1 + 2 = 3; T₃ = 1 + 2 + 3 = 6; T₄ = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

T₅ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15; T₆ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

Dalla figura si intuisce anche che c'è una formula che lega due numeri triangolari consecutivi; ad esempio si può ottenere T₅ aggiungendo 5 punti a T₄:

E in generale si può ottenere T_n aggiungendo n punti a T_n-1:

T_n = T_n-1 + n

I numeri triangolari sono infiniti ed esiste una semplice formula per determinare l'n-esimo numero triangolare senza dover eseguire n somme:

T_n = n(n+1) : 2

Giustificazione geometrica:

Se accostiamo due numeri triangolari T_n di cui uno capovolto di 180° otteniamo un parallelogramma che è equivalente a un rettangolo di lati n e n+1 formato da n(n + 1) punti, e quindi T_n = n(n + 1) : 2. Ad esempio, se accostiamo i due numeri T₄ otteniamo un rettangolo che ha per altezza 4 punti e per base 5 punti, in totale i punti sono 4x5=20 e quindi:

T₄ = 20 : 2 = 10.

Giustificazione aritmetica o teorema di Gauss:

Supponiamo di voler determinare il numero triangolare T₂₀. Come sappiamo questo numero equivale alla somma dei primi 20 numeri naturali. Se scriviamo i numeri da 1 a 20 su una riga da sinistra a destra e poi i numeri da 20 a 1 in una seconda riga sempre da sinistra a destra osserviamo che la somma di ciascuna coppia di numeri in colonna dà sempre lo stesso risultato pari a 21.

In totale ci sono 20 somme ciascuna delle quali è uguale a 21 e quindi la somma totale dei primi venti numeri naturali è data dal prodotto 20x21 diviso 2, cioè 210. In pratica è stata utilizzata la formula T_n = n(n + 1) : 2.

Come possiamo stabilire se un numero naturale sia o non sia triangolare?

La formula T_n = n(n + 1) : 2 ci suggerisce come procedere. Bisogna moltiplicare il numero per 2 e poi verificare se il risultato sia uguale al prodotto di due numeri naturali immediatamente consecutivi. Ad esempio 78 è un numero triangolare

78 x 2 = 156 = 12 X 13

mentre 80 non è un numero triangolare perchè il suo doppio non è uguale al prodotto di due numeri naturali immediatamente consecutivi.

80 x 2 = 160 = 10 x 16

Quali tra i numeri triangolari sono pari e quali sono dispari? Nella sequenza dei numeri triangolari c'è una regolarità?

Osservando la successione dei numeri triangolari si incontrano due numeri dispari seguiti da due numeri pari e cosí via secondo uno schema ciclico: dispari-dispari-pari-pari.

T₁ = 1; T₂ = 3; T₃ = 6; T₄ = 10; T₅ = 15; T₆ = 21; T₇ = 28; T₈ = 36

Il 10 luglio 1796 Gauss annotò sul suo diario:

Eureka! num = Δ + Δ + Δ

Che significava: ho trovato! ogni numero naturale, se non è esso stesso un numero triangolare, si può sempre ottenere come somma di due o al massimo tre numeri triangolari, eventualmente ripetuti.

Ad esempio:

2 = 1+1; 4 = 3+1; 5 = 3+1+1; 7 = 6+1; 8 = 6+1+1, ..., 64 = 55+6+3, ...

Nel 1813 Cauchy dimostrò questa congettura.