Numeri poligonali

Numeri esagonali

Un numero esagonale è un numero naturale che rappresentato mediante punti forma un esagono. Ad esempio, i primi quattro numeri esagonali sono 1, 6, 15, 28:

Esiste una relazione tra i numeri esagonali e i numeri triangolari: ogni numero esagonale si può ottenere come somma di quattro numeri triangolari. Ad esempio, il terzo numero esagonale E₃ può essere ottenuto come somma tra il numero triangolare T₃ e i tre numeri triangolari T₂:

E₃ = T₃ + 3T₂

In generale, un numero esagonale E_n si ottiene sommando il numero triangolare T_n con tre numeri triangolari T_n-1:

E_n = T_n + 3T_n-1

Questa relazione tra numeri esagonali e numeri triangolari permette di poter determinare una formula generale per calcolare l'n-esimo numero esagonale senza ricorrere ai numeri triangolari:

Ad esempio:

E₁₀ = 2 ⋅ 10² - 10 = 190

Ogni numero esagonale si può ottenere anche con la somma di una progressione aritmetica:

E₁=1, E₂=1+5=6, E₃=1+5+9=15, E₄=1+5+9+13=28 e in generale:

E_n = 1 + 5 + 9 + ... + 4n-3

Nella successione 1, 5, 9, 13, 17, ... la differenza tra un termine e il suo precedente è sempre 4. Ogni numero esagonale si ottiene, quindi, sommando i termini di una progressione aritmetica di ragione 4 a partire da 1. Per calcolare la somma della progressione si utilizza la solita formula in cui la media fra primo e l'ultimo termine è moltiplicata per il numero dei termini.

E_n = 1 + 5 + 9 + ... + 4n-3 = n(1+4n-3): 2 = n(4n-2) : 2 = 2n² - n

Come si vede si è ottenuta, con un procedimento diverso, la stessa formula generale.

Cauchy dimostrò che ogni numero naturale, se non è esso stesso un numero esagonale, può essere scritto come somma di al massimo sei numeri esagonali, eventualmente ripetuti. Ad esempio:

101 = 1 + 1 + 1 + 1 + 6 + 91