Numeri poligonali

Alcuni numeri triangolari sono perfetti

Un numero è chiamato perfetto se è uguale alla somma di tutti i suoi divisori escluso il numero stesso. Ad esempio 6 è un numero perfetto perchè i suoi divisori sono 1, 2, 3, 6 e:

1 + 2 + 3 = 6

Il secondo numero perfetto è 28. I divisori di 28 sono 1, 2, 4, 7, 14, 28 e:

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

Il terzo numero perfetto è 496. I divisori di 496 sono 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496 e:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Il quarto numero perfetto è 8128. I divisori propri di 8128 sono 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064, 8128 e:

1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064 = 8128

Nell'insieme dei numeri naturali i numeri perfetti sono rari (nei primi 10.000 numeri naturali ci sono solo 4 numeri perfetti) e la loro particolare proprietà li ha resi affascinanti e allo stesso tempo famosi. I primi quattro numeri perfetti erano già noti ai Pitagorici che avevano notato che le potenze di 2 non erano numeri perfetti, ma la somma dei loro divisori (escluso il numero stesso) era sempre inferiore di una unità al numero stesso:

4 ha per divisori 1, 2, 4 e 1+2=3;

8 ha per divisori 1, 2, 4, 8 e 1+2+4 = 7;

16 ha per divisori 1, 2, 4, 8, 16 e 1+2+4+8 = 15

Euclide dimostrò una formula per ottenere i numeri perfetti. Osservando il seguente schema:

Intuí che l'espressione:

fornisce un numero perfetto se (2^k - 1) è un numero primo. Ora, sorge una domanda: Per quali valori di k il termine (2^k - 1) è un numero primo? All'inizio fu fatta l'ipotesi che (2^k - 1) è un numero primo se k è a sua volta un numero primo. Questa condizione si rivelò necessaria ma non sufficiente perchè 11 è un numero primo ma

2¹¹ - 1 = 2047 = 23 ⋅ 89

non è un numero primo. Invece 13 è un numero primo e

2¹³ - 1 = 8191

è primo e

2¹²(2¹³ - 1) = 33550336

è il quinto numero perfetto. Eulero dimostrò che ogni numero perfetto pari e della forma

2^p-1(2^p - 1)

con p primo. I numeri primi della forma (2^p - 1) sono chiamati numeri di Marsenne.

Tutti i numeri perfetti sono numeri triangolari. Vediamo una semplice dimostrazione:

Consideriamo un numero perfetto nella sua forma 2^p-1(2^p - 1). Il primo fattore 2^p-1 può essere scritto anche in un altro modo equivalente:

2^p-1 = 2^p : 2

e quindi il numero perfetto può essere scritto anche nellla forma:

(2^p - 1) ⋅ 2^p : 2

Ora ponendo (2^p - 1) = n si ha che 2^p = n + 1 e quindi si ha l'uguaglianza:

Ad esempio:

6 = 2¹(2² - 1) = 2 ⋅ 3 = T₃

28 = 2²(2³ - 1) = 4 ⋅ 7 = T₇

496 = 2⁴(2⁵ - 1) = 16 ⋅ 31 = T₃₁

8128 = 2⁶(2⁷ - 1) = 64 ⋅ 127 = T₁₂₇

Non si sà se i numeri perfetti siano infiniti nè se esistono numeri perfetti dispari. Attualmente si conoscono 54 numeri perfetti. La ricerca dei numeri perfetti non è semplice basta pensare che il l'ultimo numero perfetto è formato da

44 677 235 cifre