Numeri poligonali

Quadrati esprimibili come somma di due numeri quadrati

Pitagora dimostrò che esistono infiniti numeri quadrati che sono uguali alla somma di due numeri quadrati. Ad esempio:

3² + 4² = 5² → 9 + 16 = 25 → Q₃ + Q₄ = Q₅

6² + 8² = 10² → 36 + 64 = 100 → Q₆ + Q₈ = Q₁₀

9² + 12² = 15² → 81 + 144 = 225 → Q₉ + Q₁₂ = Q₁₅

Questo è il più famoso teorema della matematica e venne espresso in termini geometrici: il quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti:

Esiste una formula che consente di trovare due numeri quadrati la cui somma sia un numero quadrato. Vediamo come questa formula è stata ottenuta.

Per passare dal numero quadrato Q₃ al successivo numero quadrato Q₄ bisogna aggiungere 2x3+1=7 punti. In particolare bisogna aggiungere una riga di tre punti, una colonna di tre punti e un punto posto tra la riga e la colonna.

In generale per passare dall'n-esimo numero quadrato al successivo bisogna aggiungere un numero dispari di punti equivalenti a 2n+1 punti. I 2n+1 punti formano una squadra a forma di L capovolta chiamata gnomone. Costruiamo la tabella che mette in relazione due numeri quadrati successivi e il corrispondente gnomone.

n2	gnomone 2n+1	(n+1)2
12	3	22
22	5	32
32	7	42
42	9	52
52	11	62
62	13	72
72	15	82
82	17	92
92	19	102
102	21	112
112	23	122
122	25	132

Come si può osservare, in alcuni casi anche lo gnomone è un numero quadrato, e quando ciò accade si hanno tre numeri quadrati:

4² + 9 = 5² → 4² + 3² = 5²

12² + 25 = 13² → 12² + 5² = 13²

Per ogni riga della tabella esiste la relazione:

n² + 2n + 1 = (n + 1)²

e si ha una terna di quadrati quando il numero 2n+1, che rappresenta lo gnomone, è a sua volta un numero quadrato. Se 2n+1 è un numero quadrato possiamo scrivere l'uguaglianza:

2n + 1 = m²

dalla quale si ottengono le due uguaglianze:

n = (m² - 1) : 2 e n + 1 = (m² + 1) : 2

Pertanto la relazione iniziale diventa:

Questa formula attribuita ai Pitagorici permette di determinare le terne di quadrati assegnando a m valori dispari maggiori di 1.

m	[(m2-1):2]2	m2	[(m2+1):2]2
3	16	9	25
5	144	25	169
7	576	49	625
9	1600	81	1681
11	3600	121	3721

Con un procedimento simile è possibile ottenere una formula che consente di determinare le terne di quadrati assegnando a m valori pari maggiori di 4. Per passare direttamente dal numero quadrato Q₂ al numero quadrato Q₄ bisogna aggiungere dodici punti (2x2+1)+(2x3+1)=12 punti.

Se osserviamo la figura per passare da Q₂ a Q₄ bisogna aggiungere due gnomoni successivi di ampiezza 1 che formano un gnomone di ampiezza 2 che contiene 4x2+4 punti. In generale per passare da Q_n a Q_n+2 bisogna aggiungere 4n+4 punti. Costruiamo la tabella che mette in relazione i due numeri quadrati Q_n e Q_n+2 con il corrispondente gnomone di ampiezza 2.

n2	gnomone 4n+n	(n+2)2
12	8	32
22	12	42
32	16	52
42	20	62
52	24	72
62	28	82
72	32	92
82	36	102

In alcuni casi anche lo gnomone di ampiezza 2 è un numero quadrato, e quando ciò accade si hanno tre numeri quadrati:

3² + 16 = 5² → 3² + 4² = 5²

8² + 36 = 10² → 8² + 6² = 10²

Per ogni riga della tabella esiste la relazione:

n² + 4n + 4 = (n + 2)²

e si ha una terna di quadrati quando il numero 4n+4, che rappresenta lo gnomone di ampiezza 2, è a sua volta un numero quadrato. Se 4n+4 è un numero quadrato possiamo scrivere l'uguaglianza:

4n + 4 = m²

dalla quale si ottengono le due uguaglianze:

n = (m² - 4) : 4 e n + 2 = (m² + 4) : 2

Pertanto la relazione iniziale diventa:

Questa formula attribuita a Platone permette di determinare le terne di quadrati assegnando a m valori pari maggiori di 4.

m	[(m2-4):4]2	m2	[(m2+4):4]2
4	9	16	25
6	64	36	100
8	225	64	289
10	576	100	676
12	1225	144	1369

Proseguendo se al numero quadrato Q₂ aggiungiamo uno gnomone di ampiezza 3 si ottiene il numero quadrato Q₅ e applicando lo stesso procedimento dei due casi precedenti si arriva alla formula della terna di quadrati:

Se tale formula è messa nel seguente modo:

Si può intuire che è vera in generale la formula:

Ora, se moltiplichiamo entrambi i membri, di quest'ultima relazione, per 4n² si ottiene:

Ad esempio per m=2 e n=1 si ottiene la terna 9, 16. 25 per m=3 e n= 2 si ottiene la terna 25, 144, 169. Questa formula è stata attribuita a Euclide che ne diede due dimostrazioni.