Numeri poligonali

Numeri quadrati

Un numero quadrato è un numero naturale che rappresentato mediante punti forma un quadrato. Ad esempio, i primi quattro numeri quadrati sono 1, 4, 9, 16:

In generale un numero quadrato Q_n si ottiene elevando al quadrato n; Q_n = n²:

Q₁ = 1² = 1; Q₂ = 2² = 4; Q₃ = 3² = 9; Q₄ = 4² = 16

Q₅ = 5² = 25; Q₆ = 6² = 36; Q₇ = 7² = 49; Q₈ = 8² = 64

Un numero quadrato si può ottenere anche sommando numeri naturali dispari.

Q₁=1, Q₂=1+3=4, Q₃=1+3+5=9, Q₄=1+3+5+7=16 e cosí via.

In generale l'n-esimo numero quadrato si ottiene sommando i primi n numeri dispari:

Q_n = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n²

Da questa formula si intuisce che è possibile calcolare un numero quadrato conoscendo quello precedente:

Q_n = Q_n-1 + (2n - 1) = (n - 1)² + 2n - 1 = n²

Ad esempio:

Q₇ = Q₆ + (2x7 - 1) = 36 + 13 = 49

In altre parole un numero quadrato si ottiene sommando i termini di una progressione aritmetica di ragione 2 a partire da 1. Per calcolare la somma della progressione si utilizza la solita formula in cui la media fra primo e l'ultimo termine è moltiplicata per il numero dei termini.

Q_n = 1 + 3 + 5 + ... + 2n-1 = n(1+2n-1): 2 = n²

Un numero quadrato si può ottenere anche sommando due numeri triangolari consecutivi:

In generale:

Q_n = T_n + T_n-1

Giustificazione algebrica:

Anche Diofanto studiò i numeri poligonali e dimostrò che l'ottuplo di un numero triangolare aumentato di 1 è sempre un numero quadrato dispari.

Giustificazione geometrica: Ad esempio, 8 ⋅ T₃ + 1 = Q₇ = 49

Giustificazione algebrica:

In generale:

Q_2n-1 = 8 ⋅ T_n + 1

Da questa proprietà si deduce:

• Ogni numero quadrato dispari diviso per otto dà resto 1.

• Per riconoscere se un numero è triangolare lo si moltiplica per 8 e poi si aggiunge 1 al prodotto; se il risultato è numero quadrato il numero iniziale è un numero triangolare.

Un numero quadrato dispari è sempre uguale alla somma di otto numeri triangolari. Ad esempio il numero quadrato Q₁₁

si può ottenere dalla somma:

Q₁₁ = T₄ + 6 ⋅ T₅ + T₆

In generale:

Q_2n+1 = T_n-1 + 6 ⋅ T_n + T_n+1

Giustificazione algebrica: