Numeri poligonali

Numeri pentagonali

Un numero pentagonale è un numero naturale che rappresentato mediante punti forma un pentagono. Ad esempio, i primi quattro numeri pentagonali sono 1, 5, 12, 22:

Esiste una relazione tra i numeri pentagonali e i numeri triangolari: ogni numero pentagonale si può ottenere come somma di tre numeri triangolari. Ad esempio, il quarto numero pentagonale P₄ può essere ottenuto come somma tra il numero triangolare T₄ e i due numeri triangolari T₃:

P₄ = T₄ + 2T₃

In generale un numero pentagonale P_n si ottiene sommando il numero triangolare T_n con due numeri triangolari T_n-1:

P_n = T_n + 2T_n-1

Questa relazione tra numeri pentagonali e numeri triangolari permette di poter determinare una formula generale per calcolare l'n-esimo numero pentagonale senza ricorrere ai numeri triangolari:

Ad esempio:

P₁₀ = 10(3⋅10-1) : 2 = 145

Ogni numero pentagonale si può ottenere anche con la somma di una progressione aritmetica:

P₁=1, P₂=1+4=5, P₃=1+4+7=12, P₄=1+4+7+10=22 e in generale:

P_n = 1 + 4 + 7 + ... + 3n-2

Nella successione 1, 4, 7, 10, 13, ... la differenza tra un termine e il suo precedente è sempre 3. Ogni numero pentagonale si ottiene, quindi, sommando i termini di una progressione aritmetica di ragione 3 a partire da 1. Per calcolare la somma della progressione si utilizza la solita formula in cui la media fra primo e l'ultimo termine è moltiplicata per il numero dei termini.

P_n = 1 + 4 + 7 + ... + 3n-2 = n(1+3n-2): 2 = n(3n-1) : 2

Come si vede si è ottenuta, con un procedimento diverso, la stessa formula generale.

Cauchy dimostrò che ogni numero naturale, se non è esso stesso un numero pentagonale, può essere scritto come somma di, al massimo, cinque numeri pentagonali, eventualmente ripetuti. Ad esempio,

69 = 1 + 5 + 12 + 51; 89 = 1 + 1 + 5 + 12 + 70