Numeri poligonali

Alcune relazioni tra i numeri triangolari

Un numero triangolare T_n è dato dalla somma dei primi n numeri naturali:

T_n = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n

In matematica una successione di numeri tali che la differenza tra ciascun termine della successione e il suo precedente sia costante viene detta progressione aritmetica. Nella successione 1, 2, 3, 4, ... n la differenza tra un termine e il suo precedente è sempre uguale a 1. Tale costante viene detta ragione della progressione. La somma dei numeri di una progressione aritmetica finita si chiama serie aritmetica. Gauss ha dimostrato che la somma dei primi n numeri naturali è:

Questa formula può essere letta in due modi equivalenti:

La somma di n numeri di una progressione aritmetica di ragione 1 con primo termine 1 è uguale al semiprodotto di n per il suo successivo.

La somma di n numeri di una progressione aritmetica di ragione 1 è uguale a n volte la media aritmetica tra il primo e l'ultimo termine della successione:

Quest'ultima definizione ci permette di determinare la somma di una qualsiasi progressione aritmetica di n numeri ugualmente spaziati. Ad esempio:

Dalla formula T_n+1 = T_n + n+1 si intuisce come eseguire la differenza tra due numeri triangolari:

T_n+1 - T_n = n+1

Ad esempio:

La seguente figura mostra come si può ottenere un numero triangolare pari sommando tre numeri triangolari uguali con il numero triangolare precedente:

Esprimendo in formula si ha:

T₄ = 3 ⋅ T₂ + T₁

T₆ = 3 ⋅ T₃ + T₂

T₈ = 3 ⋅ T₄ + T₃

In generale:

T_2n = 3 ⋅ T_n + T_n-1

Invece per ottenere un numero triangolare dispari bisogna sommare tre numeri triangolari uguali con il numero triangolare successivo:

Esprimendo in formula si ha:

T₃ = 3 ⋅ T₁ + T₂

T₅ = 3 ⋅ T₂ + T₃

T₇ = 3 ⋅ T₃ + T₄

In generale:

T_2n+1 = 3 ⋅ T_n + T_n+1

La seguente figura mostra la somma di numeri triangolari:

T₁₊₄ = T₁ + T₄ + 1 ⋅ 4

T₂₊₄ = T₂ + T₄ + 2 ⋅ 4

T₃₊₄ = T₃ + T₄ + 3 ⋅ 4

In generale:

T_m+n = T_m + T_n + m ⋅ n

La seguente figura mostra il prodotto di numeri triangolari:

T_{2 ⋅ 3} = T₂ ⋅ T₃ + T₁ ⋅ T₂

T_{2 ⋅ 4} = T₂ ⋅ T₄ + T₁ ⋅ T₃

In generale:

T_{m ⋅ n} = T_m ⋅ T_n + T_m-1 ⋅ T_n-1

Il quadrato di un numero triangolare di lato 2 è uguale alla somma dei primi 2 numeri naturali al cubo, il quadrato di un numero triangolare di lato 3 è uguale alla somma dei primi 3 numeri naturali al cubo e cosí via. Ad esempio:

(T₁)² = 1² = 1 = 1³

(T₂)² = 3² = 9 = 1³ + 2³

(T₃)² = 6² = 36 = 1³ + 2³ + 3³

(T₄)² = 10² = 100 = 1³ + 2³ + 3³ + 4³

(T₅)² = 15² = 225 = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³

In generale il quadrato dell'n-esimo numero triangolare è uguale alla somma dei primi n numeri naturali al cubo (teorema di Nicomaco):

(T_n)² = [n(n+1):2]² = 1³ + 2³ + ... + n³

La somma dei quadrati di due numeri triangolari consecutivi è un numero triangolare. Ad esempio:

(T₁)² + (T₂)² = 1² + 3² = 10 = T₄

(T₂)² + (T₃)² = 3² + 6² = 45 = T₉

(T₃)² + (T₄)² = 6² + 10² = 136 = T₁₆

In generale:

(T_n-1)² + (T_n)² = T_n²