Numeri poligonali

Somma di numeri triangolari

Esiste una formula che ci consente di determinare la somma di n numeri triangolari senza dover eseguire le n somme?

1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 + 45 + 55 + 66 + ... + n = ?

La successione dei numeri triangolari non formano una progressione aritmetica perchè la differenza tra due numeri triangolari successivi non è costante e quindi non possiamo applicare la formula che permette di sommare i termini di una progressione. Possiamo però utilizzare una particolare relazione tra i numeri triangolari.

proseguendo si ha:

3(T₁ + T₂ + T₃ + T₄) = (4 + 2)T₄

....................................................

3(T₁ + T₂ + ... + T_n) = (n + 2)T_n

Sappiamo che T_n = n(n+1) : 2 e quindi l'uguaglianza precedente diventa:

e dividendo entrambi i membri per 3 si ottiene:

Ad esempio, la somma dei primi cento numeri triangolari è:

100 ⋅ 101 ⋅ 102 : 6 = 171700

La somma di n numeri triangolari è sempre un numero naturale pertanto la formula n(n+1)(n+2):6 ci assicura che il prodotto di tre numeri naturali consecutivi è sempre divisibile per 6.