Altri numeri poligonali

Applicando gli stessi procedimenti visti per i numeri triangolari, quadrati, pentagonali e esagonali possiamo facilmente determinare i numeri poligonali successivi (ettagonali, ottagonali, ennagonali, decagonali, ...).

Metodo delle progressioni aritmetiche.

Abbiamo visto che un numero poligonale di n lati si ottiene sommando i termini di una data progressione aritmetica:

T_n = 1+2+3+4+...+n = progressione aritmetica di ragione 1 = n(n+1)/2

Q_n = 1+3+5+7+...+(2n-1) = progressione aritmetica di ragione 2 = n²

P_n = 1+4+7+10+...+(3n-2) = progressione aritmetica di ragione 3 = n(3n-1)/2

E_n = 1+5+9+13+...+(4n-3) = progressione aritmetica di ragione 4 = n(2n-1)

Dagli esempi precedenti si intuisce che un generico numero poligonale di n lati si ottiene sommando i termini di una progressione aritmetica avente come primo termine 1 e ragione il numero n dei lati del poligono meno 2. Pertanto:

L'n-esimo numero ettagonale si ottiene sommando i termini di una progressione aritmetica di ragione 5:

Et_n = 1+6+11+16+...+(5n-4) = n(5n-3)/2

L'n-esimo numero ottagonale si ottiene sommando i termini di una progressione aritmetica di ragione 6:

O_n = 1+7+13+19+...+(6n-5) = n(6n-4)/2

L'n-esimo numero ennagonale si ottiene sommando i termini di una progressione aritmetica di ragione 7:

En_n = 1+8+15+22+...+(7n-6) = n(7n-5)/2

L'n-esimo numero decagonale si ottiene sommando i termini di una progressione aritmetica di ragione 8:

D_n = 1+9+17+25+...+(8n-7) = n(4n-3)

La seguente tabella riassume quanto visto:

Metodo geometrico.

Osserviamo la figura:

Che cosa si deduce?

Ogni numero poligonale di indice n è uguale alla somma tra n e (n-2) volte il numero triangolare di indice immediatamente inferiore.

Continuando si ha: