Numeri poligonali

Alcune applicazioni dei numeri triangolari

I numeri triangolari hanno un'applicazione pratica nei problemi di calcolo combinatorio del tipo: quanti gruppi di due elementi distinti si possono formare a partire da n oggetti, considerando come distinti due gruppi se differiscono per almeno un oggetto e non per l'ordine. Vediamo tre esempi:

Problema degli ambi al lotto. Questa settimana al lotto su una data ruota sono stati estratti i numeri 8, 14, 36, 57, 71. Quanti sono gli ambi vincenti, ossia quelli che possiamo formare con i numeri estratti?

Gli ambi che contengono il numero 8 sono in tutto 4:

Gli ambi che contengono il numero 14 ma non l'8 sono in tutto 3:

Gli ambi che contengono il numero 36 ma non l'8 o il 14 sono in tutto 2:

Gli ambi che contengono il numero 57 ma non l'8 o il 14 o il 36 sono in tutto 1:

In totale gli ambi vincenti sono 1 + 2 + 3 + 4 = 10 che è il numero triangolare T₄, infatti se consideriamo ogni ambo con un cerchio possiamo rappresentarli con un triangolo equilatero di lato 4.

Problema delle strette di mano. Sei amici, dopo aver partecipato a una cena, si salutano e ognuno stringe la mano a tutti gli altri. Quante sono le strette di mano?

Supponiamo che gli amici siano Aldo, Mario, Ugo, Ciro, Mattia, Giulio.

Aldo stringe la mano con gli altri 5 amici e va via dopo 5 strette di mano.

Mario stringe la mano con gli altri 4 amici e va via dopo 4 strette di mano.

Ugo stringe la mano con gli altri 3 amici e va via dopo 3 strette di mano.

Ciro stringe la mano con gli altri 2 amici e va via dopo 2 strette di mano.

Mattia e Giulio si stringono la mano e vanno via quindi si verifica 1 stretta di mano.

In totale le strette di mano sono state 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 che è il numero triangolare T₅

Problema della rete stradale. Date 7 città , quante strade devono essere costruite in modo che ci sia un collegamento stradale diretto da qualsiasi città a qualsiasi altra città ?

Supponiamo che le città siano A, B, C, D, E, F, G. Partiamo dalla situazione in cui le 7 cittß siano completamente isolate e vediamo come si può procedere gradualmente per costruire la rete stradale.

Iniziamo dalla città A; per unirla con tutte le altre città costruiamo le 6 strade come si vede in figura.

Ora, per unire la città B con tutte le altre città dobbiamo costruire altre 5 strade perchè quella tra A e B è stata già realizzata.

Le strade da costruire per unire la città C con tutte le altre città sono 4 perchè le strade tra A e C e tra B e C sono state già costruite.

Si intuisce che le strade da costruire tra la città D e le altre città sono 3, le strade da costruire tra la città E e le altre città sono 2, le strade da costruire tra la città G e le altre città sono 1.

In totale abbiamo costruito 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 strade e 21 è il numero triangolare T₆

In generale:

• il numero degli ambi che si possono formare estraendo n numeri;

• il numero delle strette di mano tra n persone;

• il numero delle strade tra n città.

è dato dal numero triangolare T_n-1 = (n - 1) ⋅ n : 2

Dobbiamo meravigliarci? No! Questi problemi appartengono alla stessa categoria; quella delle combinazioni semplici di classe 2 che si possono formare con n elementi distinti. Nel calcolo combinatorio c'è una formula che permette di risolvere questi problemi e lo sviluppo di questa formula ß equivalente a un numero triangolare: