Geometria sulla sfera

Poligono con due lati: bigono

Nella geometria euclidea la regione di piano limitata da una spezzata chiusa viene detta poligono e in un poligono possiamo distinguere alcuni elementi: i vertici, i lati, gli angoli. I lati sono segmenti, i vertici sono gli estremi dei segmenti, e gli angoli sono individuati da una coppia di lati consecutivi. Ad esempio, il più semplice poligono è il triangolo:

dove i punti A, B, C sono i vertici del triangolo, i segmenti AB, BC, CA sono i lati del triangolo, gli angoli CAB, ABC, BCA sono gli angoli del triangolo. Ora chiediamoci; si può parlare di poligoni sulla superficie di una sfera? Sí si può. Nella geometria sulla sfera avendo stabilito l'esistenza di rette (cioè circonferenze massime) possiamo considerare le regioni delimitate da segmenti di rette (cioè archi di circonferenze massime). Naturalmente, i poligoni sferici presentano molte differenze con i poligoni della geometria del piano euclideo. La prima sorpresa è l'esistenza di un poligono che ha solo due lati che non esiste nella geometria euclidea. Il poligono con due lati detto bigono o biangolo o fuso è la regione della superficie sferica limitata da due semicirconferenze massime.

Un'altra sorpresa: tutti i bigoni sono isoperimetrici cioè hanno tutti lo stesso perimetro che è uguale alla somma di due semicirconferenze massime e come sappiamo le circonferenze massime hanno tutte la stessa misura. Se la sfera ha il raggio unitario allora il perimetro di un bigono è:

Si intuisce che l'area del bigono è direttamente proporzionale all'angolo diedro formato dai due piani che contengono i lati del bigono. Se consideriamo che l'area della sfera di raggio unitario è 4Π e l'angolo del bigono sia α possiamo scrivere la proporzione:

α : 360° = A : 4Π

dove A è l'area del bigono. Ne segue:

Se l'area del bigono viene espressa in radianti si ottiene:

A = 2α

dove α è l'angolo del bigono espresso in radianti.

Ad ogni bigono possiamo associare un secondo bigono ad esso opposto al vertice e quindi ad esso uguale i cui lati sono il prolungamento dei lati del primo bigono. In figura è rappresentato il doppio bigono.

Naturalmente, l'area del doppio bigono è:

A = 2⋅2α