Geometria sulla sfera

Parallelismo su una sfera

Nel piano euclideo due rette possono incontrarsi o non incontrarsi, nel primo caso le rette hanno un unico punto in comune e sono dette incidenti, nel secondo caso non hanno alcun punto in comune e sono dette parallele.

Inoltre, data una retta AB e un punto P esterno alla retta è sempre possibile tracciare una retta passante per P e parallela alla retta AB.

Invece sulla superficie sferica, dove le circonferenze massime hanno la stessa funzione delle rette nel piano, due circonferenze massime si incontrano sempre in due punti.

E quindi non esistono circonferenze massime parallele fra loro e non è possibile tracciare una circonferenza massima passante per un punto P e parallela ad una data circonferenza massima. Attenzione le due circonferenze in figura:

Sono tra loro parallele ma non sono circonferenze massime e quindi non sono geodetiche sono semplicemente due curve parallele.

Nel piano euclideo:

• Due rette hanno al più un punto in comune;
• Esistono rette parallele.

Sulla superficie di una sfera:

• Due rette hanno sempre due punti in comune;
• Non esistono rette parallele.

Un esempio concreto: i meridiani.

Tutti i meridiani della Terra sono circoli massimi. Sulla mappa sembrano paralleli, ma sulla sfera:

• si avvicinano man mano che ci si sposta verso i poli;
• si incontrano sia al Polo Nord sia al Polo Sud.

Quello che sulla carta geografica appare come parallelismo è in realtà un effetto della proiezione piana, non una proprietà geometrica della superficie terrestre.

Comprendere il non parallelismo sulla sfera significa capire che la nostra intuizione, formata sul piano, non è universale. La superficie terrestre segue regole diverse, e queste regole sono essenziali per la navigazione, la cartografia e la comprensione della curvatura dello spazio.