Geometria sulla sfera

Triangoli simili e triangoli congruenti

Nel piano euclideo tutti i triangoli equilateri sono simili, in quanto pur avendo i lati più o meno lunghi conservano la forma. In generale, due figure conservano la forma se conservano i rapporti tra le lunghezze dei lati corrispondenti (pur variando tali lunghezze) e conservano le ampiezze degli angoli corrispondenti. Ad esempio, i due triangoli equilateri in figura conservano i rapporti tra i lati corrispondenti e conservano le ampiezze degli angoli corrispondenti e quindi conservano la forma.

Proviamo a riprodurre i due triangoli equilateri su una superficie sferica come si vede in figura.

Possiamo dire che i due triangoli equilateri sferici sono simili? No non sono simili. Come si vede passando dal triangolo più piccolo al triangolo più grande sicuramente si conservano i rapporti tra le lunghezze dei lati ma, contemporaneamente aumenta anche l'area e di conseguenza aumenta anche l'ampiezza degli angoli. Ricordiamoci che in un triangolo sferico la somma degli angoli aumenta con l'aumentare dell'area. Ne segue, che non si conservano gli angoli e quindi non si conserva neanche la forma. Nella geometria sulla sfera vale la seguente proprietà:

Se due triangoli sferici hanno angoli corrispondenti congruenti allora sono necessariamente congruenti.

Quello che nel piano euclideo è un criterio di similitudine:

Se due triangoli hanno angoli corrispondenti congruenti allora sono necessariamente simili.

diventa, in geometria sferica, un criterio di congruenza. In generale, due figure simili, in geometria sferica, sono sempre congruenti e quindi il concetto di forma perde di significato. In altre parole, nella geometria sferica i criteri di congruenza dei triangoli sono quattro: oltre ai tre validi nel piano euclideo c'è anche quello sugli angoli corrispondenti congruenti.