Geometria sulla sfera

Triangoli simili e triangoli congruenti

Nel piano euclideo tutti i triangoli equilateri sono simili, in quanto pur avendo i lati più o meno lunghi conservano la forma. In generale, due figure conservano la forma se conservano i rapporti tra le lunghezze dei lati corrispondenti (pur variando tali lunghezze) e conservano le ampiezze degli angoli corrispondenti. Ad esempio, i due triangoli equilateri in figura conservano i rapporti tra i lati corrispondenti e conservano le ampiezze degli angoli corrispondenti e quindi conservano la forma.

Proviamo a riprodurre i due triangoli equilateri su una superficie sferica come si vede in figura.

Possiamo dire che i due triangoli equilateri sferici sono simili? No non sono simili. Come si vede passando dal triangolo più piccolo al triangolo più grande sicuramente si conservano i rapporti tra le lunghezze dei lati ma, contemporaneamente aumenta anche l'area e di conseguenza aumenta anche l'ampiezza degli angoli. Ricordiamoci che in un triangolo sferico la somma degli angoli aumenta con l'aumentare dell'area. Ne segue, che non si conservano gli angoli e quindi non si conserva neanche la forma. Nella geometria sulla sfera vale la seguente proprietà:

Se due triangoli sferici hanno angoli corrispondenti congruenti allora sono necessariamente congruenti.

Quello che nel piano euclideo è un criterio di similitudine:

Se due triangoli hanno angoli corrispondenti congruenti allora sono necessariamente simili.

Diventa, in geometria sferica, un criterio di congruenza. In generale, nella geometria sferica non esistono triangoli simili non congruenti perchè se due triangoli hanno gli stessi angoli, allora hanno anche:

• gli stessi lati (in lunghezza sferica),
• la stessa area,
• la stessa forma e dimensione.

In altre parole: due triangoli sferici con gli stessi angoli sono automaticamente congruenti e quindi non esiste la possibilità di "ingrandire" o "rimpicciolire" un triangolo mantenendo gli stessi angoli, perchè la curvatura della sfera lega rigidamente angoli, lati e area e il concetto di forma perde di significato. Nella geometria sferica i criteri di congruenza dei triangoli sono quattro: oltre ai tre validi nel piano euclideo c'è anche quello sugli angoli corrispondenti congruenti.