Geometria sulla sfera

Quadrilateri sferici

Nel piano euclideo i quadrilateri sono i poligoni con quattro lati, quattro vertici, quattro angoli e due diagonali. Nella classificazione dei quadrilateri rispetto ai lati paralleli esiste l'importante "famiglia" dei parallelogrammi che comprende parallelogrammi, rettangoli, quadrati e rombi. Questi quadrilateri si distinguono perchè hanno due coppie di lati paralleli.

Nella geometria della sfera possono esistere i parallelogrammi? Certamente no, perchè non esistono rette parallele.

Nel piano euclideo c'è anche un'altra importante "famiglia" di quadrilateri: i trapezi. Questi quadrilateri hanno almeno una coppia di lati paralleli.

Nella geometria della sfera anche questi quadrilateri sono impossibili perchè non esistono rette parallele. In conclusione, per poter classificare i quadrilateri nella geometria sferica non bisogna utilizzare la condizione di parallelismo. Un quadrilatero sferico è definito da:

• quattro vertici sulla superficie della sfera;
• quattro lati, ciascuno un arco di circolo massimo;
• quattro angoli sferici, formati dall’intersezione dei piani che generano i lati.

La figura è chiusa come nel piano, ma la curvatura della sfera modifica profondamente le sue proprietà. Ad esempio, nella geometria sferica è possibile ottenere un quadrilatero equilatero ed equiangolo che possiamo chiamare quadrato sferico. Il quadrilatero sferico ABCD in figura essendo equilatero e equiangolo è un quadrato sferico.

Nel piano euclideo tutti i quadrati sono simili tra loro. Nella geometria sferica, come sappiamo, non esistono figure simili che non sono congruenti e quindi i quadrati sferici non sono simili. Considerando che una diagonale divide il quadrato sferico in due triangoli sferici congruenti possiamo determinare l'area di un quadrato sferico che risulta:

Da cui si ottiene che la somma degli angoli è compresa tra 360° a 720° quest'ultimo valore si ottiene quando il quadrato degenera in una circonferenza massima e i quattro angoli sono tutti piatti: