Geometria sulla sfera

Poligoni regolari e tassellazioni regolari

Anche nella geometria della sfera i poligoni regolari sono i poligoni equilateri e equiangoli ma a differenza di quanto avviene nel piano euclideo nella sfera non ci sono similitudini. Si può dimostrare che la somma degli angoli interni di un qualunque poligono regolare sferico di n lati è:

dove A è l'area del poligono regolare. Ne segue che l'ampiezza di un angolo interno di un poligono regolare sferico di n lati è:

Nel piano euclideo una tassellazione del piano consiste in un insieme di poligoni tali che:

• ogni lato di un poligono sia lato di un poligono adiacente; ciò significa che i poligoni sono disposti lato a lato;

• l'unione di tutti i poligoni coincida con l'intero piano (si dice che i poligoni ricoprano il piano).

Quando sono presenti solo poligoni regolari tutti congruenti si dice che la tassellazione è regolare. Si intuisce che per non avere buchi o sovrapposizioni tra i poligoni regolari si devono rispettare due condizioni:

• almeno tre piastrelle devono convergere in un vertice;

• la somma degli angoli dei poligoni che convergono in un vertice deve essere uguale a un angolo giro e quindi è necessario che gli angoli del poligono regolare siano sottomultipli di 360°.

Nel piano esistono solo tre tassellazioni regolari composte da triangoli equilateri, quadrati o esagoni regolari.

Un poligono sferico è regolare quando:

• tutti i lati sono archi di circolo massimo della stessa lunghezza;
• tutti gli angoli sferici sono uguali;
• la figura è inscritta in una sfera.

A differenza del piano, dove la forma di un poligono regolare è determinata solo dal numero di lati, sulla sfera la curvatura introduce un ulteriore grado di libertà: lo stesso numero di lati può dare poligoni regolari di dimensioni diverse, purchè i lati siano archi di circolo massimo.

Una tassellazione regolare sulla sfera è una suddivisione della superficie in poligoni regolari congruenti, con lo stesso numero di poligoni che si incontrano in ogni vertice. Detto ciò, si intuisce che nella geometria sferica le tassellazioni sferiche regolari sono cinque e sono riconducibili ai cinque poliedri regolari. I cinque solidi platonici sono tutti inscrivibili in una sfera e quindi i loro vertici appartengono tutti alla superficie sferica. Questi vertici che affiorano sulla superficie sferica sono a loro volta i vertici dei poligoni regolari sferici che tassellano la sfera. Ad esempio, in figura gli otto vertici del cubo inscritto nella sfera sono i vertici dei sei quadrati sferici che tassellano la superficie della sfera.

Ecco le cinque tassellazioni sulla sfera in corrispondenza dei cinque solidi platonici.

Cosa possiamo osservare dalle tassellazioni regolari sferiche? Ogni tassellazione sferica è costituta da un numero finito di poligoni regolari sferici. C'è la tassellazione con pentagoni regolari che è impossibile nel piano euclideo. Questa tassellazione contiene dodici pentagoni regolari sferici e ogni vertice appartiene a tre pentagoni regolari sferici ne segue che l'ampiezza degli angoli di questi pentagoni regolari sferici è di 120°. Nel piano euclideo esiste un'unica tasellazione regolare con triangoli equilateri in cui ogni vertice appartiene a sei triangoli. Nelle tassellazioni regolari sferiche esistono tre distinte tassellazioni regolari con triangoli equilateri:

• Quella corrispondente al tetraedro inscritto nella sfera ci sono quattro triangoli e ogni vertice appartiene a tre triangoli equilateri e quindi l'ampiezza degli angoli dei triangoli è 120°

• Quella corrispondente all'ottaedro inscritto nella sfera ci sono otto triangoli e ogni vertice appartiene a quattro triangoli equilateri e quindi l'ampiezza degli angoli dei triangoli è 90°

• Quella corrispondente all'icosaedro inscritto nella sfera ci sono venti triangoli ogni vertice appartiene a cinque triangoli equilateri e quindi l'ampiezza degli angoli dei triangoli è 72°.

Nella tassellazione regolare sferica con i quadrati sferici ogni vertice appartiene a tre quadrati e quindi l'ampiezza degli angoli dei quadrati è 120°. Osserviamo inoltre, che tra le tassellazioni regolari sferiche non c'è quella costituita da esagoni regolari sferici.

Perchè sulla sfera esistono più tassellazioni che nel piano? Nel piano, la somma degli angoli attorno a un punto deve essere esattamente 360°. Sulla sfera, invece, la curvatura positiva permette che:

• la somma degli angoli attorno a un vertice sia maggiore di 360°

• Questo rende possibili configurazioni impossibili nel piano, come: cinque triangoli equilateri che si incontrano in un vertice (icosaedro); tre pentagoni regolari che si incontrano in un vertice (dodecaedro).

Un esempio naturale: la "palla da calcio". La classica palla da calcio è una tassellazione quasi regolare della sfera, formata da: 12 pentagoni regolari e 20 esagoni regolari. Non è una tassellazione regolare in senso stretto, ma è un esempio di come la sfera permetta combinazioni geometriche ricchissime.