Geometria sulla sfera

Origini della geometria non euclidea

La geometria ha un'origine molto antica e la parola geometria deriva dal greco e significa misura della Terra. Le prime nozioni di geometria risalgono all'antico Egitto che le utilizzava per scopi pratici. Ad esempio, per ridisegnare e misurare i confini dei terreni che spesso venivano cancellati dalle inondazioni del Nilo o per costruire i sepolcri dei faraoni: le fomose piramidi. Furono i greci a trasformare la geometria empirica degli egiziani nello studio delle proprietà delle figure del piano e dello spazio. Le conoscenze geometriche sviluppate e acquisite in due secoli dai geometri greci furono organizzate e ordinate in un'opera costituita da 13 libri intitolata gli Elementi da Euclide vissuto intorno al 300 a.C. ad Alessandria. Euclide presenta il suo modello di geometria utilizzando il metodo ipotetico-deduttivo. Questo metodo si basa su alcune definizioni come:

• Punto è ciò che non ha parti;

• Linea è lunghezza senza larghezza;

• Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa (cioè, ai suoi punti);

• Superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.

e da cinque affermazioni postulate vere senza dimostrarle dette postulati o assiomi. I cinque postulati sono:

1. Per due punti passa una e una sola retta;

2. Ogni retta può essere prolungata indefinitamente;

3. Dati il centro e il raggio esiste uno e un solo cerchio;

4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro;

5. Se una retta, incontrandone altre due, forma con esse angoli interni da una stessa parte con somma minore di due retti, queste due rette, prolungate all'infinito, si incontrano dalla parte in cui giacciono tali angoli.

Da questi postulati vengono poi dedotte, mediante ragionamenti logici, tutte le successive affermazioni denominate teoremi. Ogni teorema è quindi una conseguenza logica deduttiva dei postulati o di altri teoremi già dimostrati che sono a loro volta una conseguenza logica dei postulati. Per più di 2000 anni la geometria euclidea è stata considerata l'unica geometria possibile in grado di descrivere la realtà che ci circonda. Eppure dalla lettura dei postulati emerge subito una sostanziale differenza tra i primi quattro postulati e il quinto postulato. Quest'ultimo postulato è meno evidente, meno conciso rispetto agli altri quattro e la sua formulazione è quella di un teorema:

Se una retta, incontrandone altre due, forma con esse angoli interni da una stessa parte con somma minore di due retti, [allora] queste due rette, prolungate all'infinito, si incontrano dalla parte in cui giacciono tali angoli.

Inoltre, definisce una proprietà non verificabile in una regione finita di piano perchè coinvolge il concetto di infinito.

Si presume che Euclide fosse molto dubbioso su questo postulato e supponendolo un teorema abbia cercato di dimostrarlo senza successo. E ciò si desume dal fatto che cercò di rimandare il più possibile il suo utilizzo. Infatti, dimostrò i primi 28 teoremi senza utilizzare il quinto postulato e infine si arrese inserendolo tra i postulati. Anche dopo Euclide molti matematici ritenevano che il quinto postulato fosse, in realtà, un teorema potenzialmente dimostrabile sulla base dei postulati precedenti. Per secoli i matematici si sono adoperati a cercare una dimostrazione utilizzando gli altri quattro postulati e i primi 28 teoremi: ma inutilmente. In molti casi le presunte dimostrazioni, come quella di Proclo del V secolo, assumevano implicitamente delle proprietà equivalenti al quinto postulato di Euclide. Ecco ad esempio, alcune affermazioni equivalenti al quinto postulato:

• Se una retta interseca una di due rette parallele, deve intersecare anche l’altra (postulato di Proclo);

• Due rette parallele sono ovunque equidistanti (postulato dell'equidistanza);

• Per un punto non appartenente a una retta si può tracciare un'unica retta parallela alla retta data (postulato di Playfair);

• La somma degli angoli interni di un triangolo è di due retti (postulato del triangolo).

Tutti questi tentativi non mettevano mai in discussione la verità del V postulato, mentre prima il gesuita italiano Girolamo Saccheri (1667-1733) e, più tardi lo svizzero Johann Heinrich Lambert (1728-1777) tentarono una dimostrazione per assurdo, assumendo quindi la negazione del quinto postulato, e scoprirono cosí, senza esserne consapevoli, i primi teoremi della geometria non euclidea che si sarebbe sviluppata più tardi. Il grande salto concettuale, consistente nell'accettare l'idea che il V postulato fosse indipendente dagli altri assiomi dunque indimostrabile e potesse essere sostituito da assiomi alternativi, avvenne nella prima metà dell'Ottocento ad opera di Gauss (1777-1855), Lobacevskij (1793-1856), Bolyai (1802-1860) e Riemann (1826-1866). In particolare fu il russo Lobacevskij il primo a fare il passo decisivo e nei suoi articoli del 1829 e nella sua opera Nuovi principi della geometria pubblicata nel 1835 sostituisce il V postulato di Euclide con un'altro che nega l'unicità della parallela:

per un punto che giace al di fuori di una retta si possono tracciare più rette (almeno due) che non incontrino la retta data.

La geometrica di Lobacevskij da lui chiamata Geometria immaginaria non presenta nessuna contraddizione logica interna ed è sotto ogni punto di vista una geometria coerente. Tre anni dopo Bolyai, non conoscendo il lavoro di Lobacevskij scritto in russo, raggiunse risultati equivalenti. Questa nuova geometria di Lobacevskij e Bolyai è chiamata geometria iperbolica dove il termine iperbolico deriva dal greco e significa eccesso per ricordare l'eccesso di parallele rispetto alla geometria euclidea.

Poco tempo dopo, nel 1854 vide la luce un'altra geometria non euclidea ad opera del matematico tedesco Bernhard Riemann che sostituí il V postulato di Euclide con il postulato:

data una retta e un punto non appartenente ad essa, non esistono rette che passino per il punto e che siano parallele alla retta data.

La geometria non euclidea prosta da Riemann è denominata geometria ellittica e la superficie di una sfera è il suo modello migliore per comprenderla. Riemann era un allievo di Gauss e nella sua dissertazione di abilitazione intitolata Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria presenta un punto di vista più generale dell'intera geometria. Per Riemann si possono immaginare linee di lunghezza finita ma senza nessuna fine come quelle sulla superficie di una sfera. In questo modo il secondo postulato di Euclide

ogni retta può essere prolungata indefinitamente

non è in contraddizione con la retta sferica cioè la circonferenza massima su una sfera. Inoltre, per Riemann si possono distinguere tre tipi di superficie in base alla loro curvatura e su ognuna di queste superficie è possibile sviluppare una data geometria:

• Superficie a curvatura costante nulla.
  
  E' una superficie piatta come il piano euclideo o la superficie laterale di un cilindro (questa superficie può essere distesa su un piano). Su queste superficie vale la geometra euclidea:

  • per un punto esterno ad una retta data passa una e una sola retta parallela ad essa;

  • la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°

  • l'estensione della superficie è illimitata.

  

• Superficie a curvatura costante negativa.
  
  Sono superficie che hanno la forma di una pseudosfera o di una sella. Su queste superficie vale la geometria iperbolica:

  • per un punto esterno ad una retta data si possono tracciare infinite rette parallele ad essa;

  • la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180°

  • l'estensione della superficie è illimitata.

  

• Superficie a curvatura costante positiva.
  
  E' la superficie di un ellissoide o di una sfera. Su queste superficie vale la geometria ellittica:

  • per un punto esterno ad una retta data non passa alcuna retta parallela ad essa;

  • la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di 180°

  • l'estensione della superficie è limitata.

  

Possiamo riassumere gli aspetti più importanti di questi tre tipi di geometrie sugli spazi bidimensionali con la tabella: