Geometria sulla sfera

Somma degli angoli di un triangolo sferico

Abbiamo visto che la somma degli angoli di un triangolo sferico non è costante ed è sempre maggiore 180°. Ora, chiediamoci:

Tra quali valori è compresa la somma degli angoli di un triangolo sferico?

Dalla relazione vista nel paragrafo precedente:

Sappiamo che la somma degli angoli del triangolo sferico dipende dall'area del triangolo. Possiamo allora considerare i due casi limiti in cui il valore dell'area tende ad assumere il più piccolo valore possibile oppure il più grande valore possibile.

• L'area del triangolo sferico tende a zero.

  In questo caso il triangolo diventa molto "piccolo" rispetto alla superficie della sfera e la somma degli angoli del triangolo tende ad assumere il valore di 180°, ma non raggiunge mai esattamente 180, perchè ogni triangolo sferico ha un eccesso angolare positivo. In altre parole, quando si considera una piccola superficie della sfera il triangolo sferico diventa "quasi" euclideo.

• l'area del triangolo sferico tende a 2Π.

  In questo caso il triangolo tende a degenerare in una circonferenza massima e la somma degli angoli del triangolo sferico tende a 3Π cioè 540°.

  

  Si parla di triangolo degenere perchè i tre vertici del triangolo sono su una stessa "retta" sferica.

In conclusione la somma degli angoli di un triangolo sferico è compresa tra 180° e 540° e possiamo scrivere:

Nella geometria sulla sfera esistono triangoli molto particolari che sono impossibili nella geometria euclidea. Ad esempio, un triangolo equilatero trirettangolo oppure un triangolo con tre angoli ottusi come si vede in figura.

Perché sulla sfera esistono triangoli cosí particolari? Sulla sfera:

• i lati sono archi di circolo massimo, non segmenti;
• la curvatura positiva "apre" gli angoli;
• l'area del triangolo è proporzionale all'eccesso angolare.

Più grande è il triangolo, più grande è la somma dei suoi angoli.