Geometria sulla sfera

Area di un triangolo sferico

Consideriamo il triangolo sferico ABC in figura

e determiniamo la misura della sua area. Dalla seguente figura

si deduce che i tre doppi bigoni di ampiezza α, β, γ ricoprono una sola volta tutta la sfera più 2 volte il triangolo sferico ABC più due volte il triangolo sferico A'B'C' che è il simmetrico del triangolo sferico ABC rispetto al centro della sfera. Possiamo quindi scrivere:

dove 2α, 2β, 2γ, sono le aree dei bigoni sulla superficie di una sfera di raggio unitario espressi in radianti, 4Π è la misura della superficie della sfera espressa in radianti e A_t è l'area del triangolo ABC. Risolvendo rispetto all'area del triangolo sferico si ottiene;

Pertanto su una sfera di raggio unitario, l'area di un triangolo sferico è uguale alla somma dei suoi angoli (misurati in radianti) meno pi greco.

Da questa relazione si deduce:

La somma degli angoli di un triangolo sferico è sempre maggiore di 180° e dipende dall'area del triangolo.