Geometria sulla sfera

Le circonferenze su una sfera

Intersecando una sfera con un piano si ottiene sempre una circonferenza ma non tutte le circonferenze sono massime. Ad esempio, quella in figura non lo è:

In questo caso, il piano secante non passa per il centro della sfera e la circonferenza non può essere considerata una geodetica perchè non contiene percorsi minimi. Non si potrà mai disporre un elastico teso lungo questa circonferenza. Se si lascia andare un elastico teso tra due punti di questa circonferenza l'elastico cambierà posizione assumendo quella corrispondente all'arco minore della circonferenza massima.

In altre parole, sulla sfera esistono due tipi fondamentali di circonferenze:

• Circoli massimi:

  Sono le circonferenze più grandi possibili sulla sfera, ottenute intersecandola con un piano che passa per il suo centro. L'equatore e tutti i meridiani ne sono esempi. In geometria sferica, i circoli massimi sono le vere rette, perché rappresentano i percorsi più brevi tra due punti.

• Circoli minori:

  Sono le circonferenze ottenute da piani che non passano per il centro della sfera. Appaiono come "paralleli" all'equatore, ma non hanno le proprietà delle rette: non sono geodetiche e non rappresentano distanze minime.

Se consideriamo due punti A e B su una sfera in modo che siano simmetrici rispetto al centro della sfera possiamo facilmente verificare che per questi due punti passano infinite circonferenze massime. Ad esempio nella seguente figura per i punti A e B passano due circonferenze massime ma si comprende che ce ne sono infinite. Inoltre, si intuisce, che tutte la circonferenze massime hanno la stessa lunghezza.

I due punti A e B simmetrici rispetto al centro O della sfera sono detti punti antipodali. Ad esempio, supponendo che la Terra sia una sfera perfetta, i meridiani sono geodetiche che passano per i poli e le linee perpendicolari ad essi sono i paralleli. L'equatore è l'unico parallelo che è anche una geodetica.

Nel piano euclideo:

• Per due punti distinti passa una e una sola retta;

• Due punti distinti A e B su una retta individuano un solo segmento;

• Dati due punti distinti A e B esise un'unica distanza minima tra A e B.

Sulla superficie di una sfera:

• Per due punti distinti antipodali passano infinite rette (geodetiche); per due punti distinti non antipodali passa una e una sola retta;

• Due punti distinti A e B su una retta individuano due segmenti uguali se i punti sono antipodali, disuguali se non sono antipodali;

• Dati due punti distinti A e B antipodali esistono infinite distanze minime tra A e B;

• Dati due punti distinti A e B non antipodali esiste un'unica distanza minima tra A e B.