Geometria sulla sfera

Il percorso più breve

Nella geometria euclidea il piano è una superficie piatta, priva di spessore, si estende illimitatamente in lunghezza e larghezza, ha quindi due dimensioni e contiene infiniti punti e infinite rette. Nel piano euclideo il punto è un oggetto privo di dimensioni, che non ha alcuna estensione come lunghezza, larghezza o altezza e generalmente viene indicato con una lettera maiuscola. Consideriamo una parte di piano illimitato come ad esempio un foglio di quaderno e tracciamo due punti; per distinguerli indichiamoli con le lettere maiuscole A e B. Naturalmente, possiamo congiungere A con B con un tratto di linea in molti modi:

Ma fra tutte le linee che congiungono A con B, il segmento di linea retta AB è il percorso più breve. Per convincerci di ciò possiamo fare un piccolo esperimento: se tendiamo un elastico fra due puntine piantate su un cartoncino, questo si dispone sul percorso minimo. Se poi spostiamo l'elatico senza sollevarlo dal cartoncino e lo lasciamo andare vedremo che ritorna nella posizione iniziale del percorso più breve.

Le rette del piano, proprio a causa di questa proprietà di contenere i percorsi più brevi sono chiamate linee geodetiche.

Nella geometria sulla sfera il "piano" è una superficie sferica finita, priva di spessore, ha due dimensioni e contiene infiniti punti. Anche nella geometria sulla sfera il punto è un oggetto privo di dimensioni e per determinare il percorso più breve tra due punti A e B sulla superficie di una sfera possiamo fare lo stesso esperimento fatto prima sul piano: tendiamo un elastico fra due puntine piantate su una sfera di polistirolo e osserviamo come si dispone l'elastico sulla sfera. Possiamo cosí renderci conto che l'elastico si dispone lungo un arco di circonferenza massima. Si intuisce cosí che un arco di circonferenza massima rappresenta sulla sfera il percorso più breve tra due punti.

Una circonferenza massima è una qualsiasi circonferenza che si ottiene intersecando la superficie sferica con un piano che passa per il centro della sfera.

Le circonferenze massime sono le linee geodediche sulla superficie di una sfera. Lo sono, perchè come le rette del piano, contengono i percorsi più brevi. Se identifichiamo il concetto di linea retta con quello di linea geodetica possiamo considerare le circonferenze massime sulla sfera come linee rette e gli archi di circonferenze massime come segmenti.

Nella geometria euclidea:

• Il piano è una superficie piatta, priva di spessore, si estende illimitatamente in lunghezza e larghezza, ha due dimensioni e contiene infiniti punti e infinite rette;

• Il punto è un oggetto privo di dimensioni che non ha alcuna estensione;

• Una retta è costituita da infiniti punti, ha un'unica dimensione e si estende solo in lunghezza illimitatamente.

• Una retta divide il piano in due semipiani.

• Un segmento è una parte di retta compresa tra due suoi punti, detti estremi del segmento.

Nella geometria sulla sfera:

• Il piano è una superficie sferica finita, priva di spessore, ha due dimensioni e contiene infiniti punti e infinite rette;

• Il punto è un oggetto privo di dimensioni che non ha alcuna estensione;

• Una retta è una circonferenza massima, costituita da infiniti punti, ha un'unica dimensione, ha una lunghezza finita e è chiusa.

• Una retta divide il piano sferico in due semipiani sferici.

• Un segmento è un arco di circonferenza massima compresa tra due suoi punti, detti estremi del segmento.

E' importante osservare che nella geometria euclidea il piano si estende illimitatamente e la retta ha una lunghezza illimitata mentre i loro corrispondenti oggetti geometrici nella geometria sulla sfera ossia la superficie sferica e la circonferenza massima hanno rispettivamente un'estensione finita e una lunghezza finita. Possiamo quindi determinare la loro misura. L'area S della superficie sferica di una sfera di raggio r e la lunghezza C della circonferenza massima sono rispettivamente:

S = 4Πr²      C = 2Πr

D'ora in poi assumiamo che la sfera abbia il raggio unitario, in tal caso, l'estensione S della superficie della sfera e la lunghezza C della circonferenza massima diventano rispettivamente:

S = 4Π      C = 2Π