Geometria sulla sfera

Ordinamento di tre dati punti

Nel piano euclideo se consideriamo una retta e prendiamo tre punti qualsiasi A, B, C su tale retta possiamo poi stabilire quale dei tre punti sta fra gli altri due. In altre parole, possiamo stabilire l'ordine con cui si susseguono i punti di una retta. Ad esempio, osserviamo la seguente figura.

Possiamo facilmente vedere che il punto C sta fra i punti A e B e se ci moviamo sulla retta partendo dal punto A per andare al punto B dobbiamo necessariamente passare per il punto C. Consideriamo ora una retta sulla sfera e prendiamo tre punti qualsiasi A, B, C su tale retta come si vede in figura:

Posso ancora dire che il punto C sta fra i punti A e B? Posso andare dal punto A al punto B senza passare per il punto C? Sí posso andare dal punto A al punto B senza passare per il punto C anche se il percorso non è quello più breve. Quindi non ha senso parlare di ordinamento per i punti di una retta su una sfera e questo dipende dal fatto che le rette su una superficie sferica sono linee chiuse.

Questo ci fa comprendere che molte proprietà che nel piano sembrano "ovvie" dipendono in realtà dalla geometria sottostante.