Geometria sulla sfera

Triangoli sferici

Un triangolo sferico è la regione di superficie sferica delimitata da tre archi di circonferenza massima. Ad esempio, in figura è rappresentato il triangolo sferico ABC delimitato dai tre archi di circonferenza massima AB, BC, CA.

Vediamo quali sono le differenze tra un triangolo nel piano euclideo e un triangolo sferico.

• Nel piano euclideo tre punti non allineati individuano uno e un solo triangolo.

  

  Sulla superficie sferica tre punti non appartenenti ad una stessa circonferenza massima individuano otto triangoli sferici. Ad esempio, nella figura dati i tre punti A, B, C si possono individuare gli otto triangoli:

  ABC, AB'C, ABC', AB'C', A'BC, A'B'C. A'BC', A'B'C'

  Possiamo anche osservare che tra gli otto triangoli ce n'è uno A'B'C' che è simmetrico di ABC rispetto al centro della sfera. Il triangolo A'B'C' prende il nome di triangolo opposto o antipodale del triangolo ABC.

• Nel piano euclideo la somma degli angoli di un triangolo è sempre 180°.

  

  Sulla superficie sferica la somma di un triangolo sferico non è costante ed è sempre maggiore di 180°.

  In figura sono evidenziati tre triangoli sferici dove i vertici A e B sono fissi mentre il vertice C è libero di muoversi lungo la circonferenza massima "equatoriale.

  

  Le circonferenze massime AB e AC sono sempre perpendicolari alla circonferenza massima BC. I tre triangoli sferici hanno dunque, tutti due angoli retti mentre il terzo angolo, quello in A varia al variare del punto C. La somma delle ampiezze dei tre angoli è allora sempre maggiore di 180° e varia al variare dell'angolo in A. Ne segue che la somma degli angoli di un triangolo sferico non è costante come avviene nel piano euclideo.

I triangoli sferici sono fondamentali per:

• la navigazione e la geodesia;
• la cartografia;
• l’astronomia;
• la comprensione della curvatura dello spazio.

Sono il ponte ideale tra geometria pura e applicazioni reali.